Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59691 / 35539
↖ ↑ ↗
← N 63.289236°
W 16.053772°		 ← 137.28 m → N 63.289236°
W 16.051025°		 →
↑
137.30 m
↓
↑
137.30 m
↓
N 63.288001°
W 16.053772°		 ← 137.29 m →
18 849 m²		 N 63.288001°
W 16.051025°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59691 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35539 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455410003662109 y=0.271144866943359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455410003662109 × 217)
    floor (0.455410003662109 × 131072)
    floor (59691.5)     		tx = 59691
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271144866943359 × 217)
    floor (0.271144866943359 × 131072)
    floor (35539.5)     		ty = 35539
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59691 / 35539 ti = "17/59691/35539"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59691/35539.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59691 ÷ 217
    59691 ÷ 131072     		x = 0.455406188964844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35539 ÷ 217
    35539 ÷ 131072     		y = 0.271141052246094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455406188964844 × 2 - 1) × π
    -0.0891876220703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28019118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271141052246094 × 2 - 1) × π
    0.457717895507812 × 3.1415926535     		Φ = 1.43796317790282
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28019118} λ = -0.28019118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43796317790282))-π/2
    2×atan(4.21210775963261)-π/2
    2×1.33770093648988-π/2
    2.67540187297975-1.57079632675     		φ = 1.10460555
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28019118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.053772°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10460555 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.289236°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59691 KachelY 35539 -0.28019118 1.10460555 -16.053772 63.289236
    Oben rechts KachelX + 1 59692 KachelY 35539 -0.28014324 1.10460555 -16.051025 63.289236
    Unten links KachelX 59691 KachelY + 1 35540 -0.28019118 1.10458400 -16.053772 63.288001
    Unten rechts KachelX + 1 59692 KachelY + 1 35540 -0.28014324 1.10458400 -16.051025 63.288001
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10460555-1.10458400) × R
    2.15500000000368e-05 × 6371000     		dl = 137.295050000235m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10460555-1.10458400) × R
    2.15500000000368e-05 × 6371000     		dr = 137.295050000235m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28019118--0.28014324) × cos(1.10460555) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.449486825252829 × 6371000     		do = 137.284846223006m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28019118--0.28014324) × cos(1.10458400) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.449506075482456 × 6371000     		du = 137.290725738635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10460555)-sin(1.10458400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.449486825252829-0.449506075482456)×R²
    abs(-0.28014324--0.28019118)×1.92502296274544e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.92502296274544e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.92502296274544e-05×40589641000000     		ar = 18848.9334414942m²