Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59689 / 59207
↖ ↑ ↗
← S 80.934487°
E147.881470°		 ← 96.24 m → S 80.934487°
E147.886963°		 →
↑
96.20 m
↓
↑
96.20 m
↓
S 80.935352°
E147.881470°		 ← 96.23 m →
9 258 m²		 S 80.935352°
E147.886963°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59689 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59207 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910789489746094 y=0.903434753417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910789489746094 × 216)
    floor (0.910789489746094 × 65536)
    floor (59689.5)     		tx = 59689
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.903434753417969 × 216)
    floor (0.903434753417969 × 65536)
    floor (59207.5)     		ty = 59207
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59689 / 59207 ti = "16/59689/59207"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59689/59207.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59689 ÷ 216
    59689 ÷ 65536     		x = 0.910781860351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59207 ÷ 216
    59207 ÷ 65536     		y = 0.903427124023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910781860351562 × 2 - 1) × π
    0.821563720703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58101855
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.903427124023438 × 2 - 1) × π
    -0.806854248046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.53480737810933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58101855} λ = 2.58101855}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53480737810933))-π/2
    2×atan(0.07927698827748)-π/2
    2×0.0791115306702733-π/2
    0.158223061340547-1.57079632675     		φ = -1.41257327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58101855} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.881470°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41257327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.934487°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59689 KachelY 59207 2.58101855 -1.41257327 147.881470 -80.934487
    Oben rechts KachelX + 1 59690 KachelY 59207 2.58111442 -1.41257327 147.886963 -80.934487
    Unten links KachelX 59689 KachelY + 1 59208 2.58101855 -1.41258837 147.881470 -80.935352
    Unten rechts KachelX + 1 59690 KachelY + 1 59208 2.58111442 -1.41258837 147.886963 -80.935352
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41257327--1.41258837) × R
    1.50999999999346e-05 × 6371000     		dl = 96.2020999995834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41257327--1.41258837) × R
    1.50999999999346e-05 × 6371000     		dr = 96.2020999995834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58101855-2.58111442) × cos(-1.41257327) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157563709198624 × 6371000     		do = 96.2379865743537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58101855-2.58111442) × cos(-1.41258837) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.157548797797418 × 6371000     		du = 96.2288788728639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41257327)-sin(-1.41258837))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.157563709198624-0.157548797797418)×R²
    abs(2.58111442-2.58101855)×1.49114012053253e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.49114012053253e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.49114012053253e-05×40589641000000     		ar = 9257.85831812654m²