Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59688 / 59256
↖ ↑ ↗
← S 80.976799°
E147.875977°		 ← 95.79 m → S 80.976799°
E147.881470°		 →
↑
95.76 m
↓
↑
95.76 m
↓
S 80.977660°
E147.875977°		 ← 95.78 m →
9 172 m²		 S 80.977660°
E147.881470°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59256 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910774230957031 y=0.904182434082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910774230957031 × 216)
    floor (0.910774230957031 × 65536)
    floor (59688.5)     		tx = 59688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.904182434082031 × 216)
    floor (0.904182434082031 × 65536)
    floor (59256.5)     		ty = 59256
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59688 / 59256 ti = "16/59688/59256"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59688/59256.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59688 ÷ 216
    59688 ÷ 65536     		x = 0.9107666015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59256 ÷ 216
    59256 ÷ 65536     		y = 0.9041748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9107666015625 × 2 - 1) × π
    0.821533203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58092268
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9041748046875 × 2 - 1) × π
    -0.808349609375 × 3.1415926535     		Φ = -2.53950519427209
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58092268} λ = 2.58092268}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.53950519427209))-π/2
    2×atan(0.0789054329931603)-π/2
    2×0.0787422851756005-π/2
    0.157484570351201-1.57079632675     		φ = -1.41331176
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58092268} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.875977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41331176 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.976799°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59688 KachelY 59256 2.58092268 -1.41331176 147.875977 -80.976799
    Oben rechts KachelX + 1 59689 KachelY 59256 2.58101855 -1.41331176 147.881470 -80.976799
    Unten links KachelX 59688 KachelY + 1 59257 2.58092268 -1.41332679 147.875977 -80.977660
    Unten rechts KachelX + 1 59689 KachelY + 1 59257 2.58101855 -1.41332679 147.881470 -80.977660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41331176--1.41332679) × R
    1.50299999999159e-05 × 6371000     		dl = 95.7561299994645m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41331176--1.41332679) × R
    1.50299999999159e-05 × 6371000     		dr = 95.7561299994645m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58092268-2.58101855) × cos(-1.41331176) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.15683440090839 × 6371000     		do = 95.7925339901194m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58092268-2.58101855) × cos(-1.41332679) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.156819556888219 × 6371000     		du = 95.7834674441414m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41331176)-sin(-1.41332679))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15683440090839-0.156819556888219)×R²
    abs(2.58101855-2.58092268)×1.48440201708233e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.48440201708233e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.48440201708233e-05×40589641000000     		ar = 9172.28824942715m²