Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59688 / 54680
↖ ↑ ↗
← N 28.555576°
W 16.062012°		 ← 268.27 m → N 28.555576°
W 16.059265°		 →
↑
268.22 m
↓
↑
268.22 m
↓
N 28.553164°
W 16.062012°		 ← 268.28 m →
71 956 m²		 N 28.553164°
W 16.059265°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59688 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54680 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455387115478516 y=0.417179107666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455387115478516 × 217)
    floor (0.455387115478516 × 131072)
    floor (59688.5)     		tx = 59688
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.417179107666016 × 217)
    floor (0.417179107666016 × 131072)
    floor (54680.5)     		ty = 54680
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59688 / 54680 ti = "17/59688/54680"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59688/54680.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59688 ÷ 217
    59688 ÷ 131072     		x = 0.45538330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54680 ÷ 217
    54680 ÷ 131072     		y = 0.41717529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45538330078125 × 2 - 1) × π
    -0.0892333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28033499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41717529296875 × 2 - 1) × π
    0.1656494140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.52040298227533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28033499} λ = -0.28033499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.52040298227533))-π/2
    2×atan(1.68270561362288)-π/2
    2×1.03459257432188-π/2
    2.06918514864376-1.57079632675     		φ = 0.49838882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28033499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.062012°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.49838882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 28.555576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59688 KachelY 54680 -0.28033499 0.49838882 -16.062012 28.555576
    Oben rechts KachelX + 1 59689 KachelY 54680 -0.28028705 0.49838882 -16.059265 28.555576
    Unten links KachelX 59688 KachelY + 1 54681 -0.28033499 0.49834672 -16.062012 28.553164
    Unten rechts KachelX + 1 59689 KachelY + 1 54681 -0.28028705 0.49834672 -16.059265 28.553164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.49838882-0.49834672) × R
    4.20999999999894e-05 × 6371000     		dl = 268.219099999932m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.49838882-0.49834672) × R
    4.20999999999894e-05 × 6371000     		dr = 268.219099999932m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28033499--0.28028705) × cos(0.49838882) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878353863336989 × 6371000     		do = 268.271878691693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28033499--0.28028705) × cos(0.49834672) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.878373986820565 × 6371000     		du = 268.278024921556m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.49838882)-sin(0.49834672))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.878353863336989-0.878373986820565)×R²
    abs(-0.28028705--0.28033499)×2.0123483575718e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.0123483575718e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.0123483575718e-05×40589641000000     		ar = 71956.4661367462m²