Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59681 / 58594
↖ ↑ ↗
← S 80.388230°
E147.837524°		 ← 101.98 m → S 80.388230°
E147.843017°		 →
↑
102 m
↓
↑
102 m
↓
S 80.389148°
E147.837524°		 ← 101.97 m →
10 402 m²		 S 80.389148°
E147.843017°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59681 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910667419433594 y=0.894081115722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910667419433594 × 216)
    floor (0.910667419433594 × 65536)
    floor (59681.5)     		tx = 59681
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894081115722656 × 216)
    floor (0.894081115722656 × 65536)
    floor (58594.5)     		ty = 58594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59681 / 58594 ti = "16/59681/58594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59681/58594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59681 ÷ 216
    59681 ÷ 65536     		x = 0.910659790039062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58594 ÷ 216
    58594 ÷ 65536     		y = 0.894073486328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910659790039062 × 2 - 1) × π
    0.821319580078125 × 3.1415926535     		Λ = 2.58025156
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894073486328125 × 2 - 1) × π
    -0.78814697265625 × 3.1415926535     		Φ = -2.47603673917514
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.58025156} λ = 2.58025156}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47603673917514))-π/2
    2×atan(0.0840757804029612)-π/2
    2×0.0838785131984156-π/2
    0.167757026396831-1.57079632675     		φ = -1.40303930
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.58025156} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.837524°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40303930 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.388230°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59681 KachelY 58594 2.58025156 -1.40303930 147.837524 -80.388230
    Oben rechts KachelX + 1 59682 KachelY 58594 2.58034743 -1.40303930 147.843017 -80.388230
    Unten links KachelX 59681 KachelY + 1 58595 2.58025156 -1.40305531 147.837524 -80.389148
    Unten rechts KachelX + 1 59682 KachelY + 1 58595 2.58034743 -1.40305531 147.843017 -80.389148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40303930--1.40305531) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dl = 101.999709999715m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40303930--1.40305531) × R
    1.60099999999552e-05 × 6371000     		dr = 101.999709999715m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.58025156-2.58034743) × cos(-1.40303930) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166971285125057 × 6371000     		do = 101.984018895566m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.58025156-2.58034743) × cos(-1.40305531) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166955499855899 × 6371000     		du = 101.974377446218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40303930)-sin(-1.40305531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166971285125057-0.166955499855899)×R²
    abs(2.58034743-2.58025156)×1.5785269157742e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.5785269157742e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.5785269157742e-05×40589641000000     		ar = 10401.8486398988m²