Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59680 / 35572
↖ ↑ ↗
← N 63.248467°
W 16.083984°		 ← 137.45 m → N 63.248467°
W 16.081238°		 →
↑
137.49 m
↓
↑
137.49 m
↓
N 63.247230°
W 16.083984°		 ← 137.46 m →
18 898 m²		 N 63.247230°
W 16.081238°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59680 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35572 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455326080322266 y=0.271396636962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455326080322266 × 217)
    floor (0.455326080322266 × 131072)
    floor (59680.5)     		tx = 59680
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271396636962891 × 217)
    floor (0.271396636962891 × 131072)
    floor (35572.5)     		ty = 35572
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59680 / 35572 ti = "17/59680/35572"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59680/35572.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59680 ÷ 217
    59680 ÷ 131072     		x = 0.455322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35572 ÷ 217
    35572 ÷ 131072     		y = 0.271392822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455322265625 × 2 - 1) × π
    -0.08935546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28071848
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271392822265625 × 2 - 1) × π
    0.45721435546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.43638126021536
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28071848} λ = -0.28071848}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43638126021536))-π/2
    2×atan(4.20544981941129)-π/2
    2×1.33734515962151-π/2
    2.67469031924302-1.57079632675     		φ = 1.10389399
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28071848} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.083984°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10389399 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.248467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59680 KachelY 35572 -0.28071848 1.10389399 -16.083984 63.248467
    Oben rechts KachelX + 1 59681 KachelY 35572 -0.28067055 1.10389399 -16.081238 63.248467
    Unten links KachelX 59680 KachelY + 1 35573 -0.28071848 1.10387241 -16.083984 63.247230
    Unten rechts KachelX + 1 59681 KachelY + 1 35573 -0.28067055 1.10387241 -16.081238 63.247230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10389399-1.10387241) × R
    2.15800000000765e-05 × 6371000     		dl = 137.486180000488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10389399-1.10387241) × R
    2.15800000000765e-05 × 6371000     		dr = 137.486180000488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28071848--0.28067055) × cos(1.10389399) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.450122338677305 × 6371000     		do = 137.450271086774m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28071848--0.28067055) × cos(1.10387241) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.450141608798144 × 6371000     		du = 137.456155449992m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10389399)-sin(1.10387241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450122338677305-0.450141608798144)×R²
    abs(-0.28067055--0.28071848)×1.92701208387991e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.92701208387991e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.92701208387991e-05×40589641000000     		ar = 18897.9172217384m²