Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5968 / 6891
↖ ↑ ↗
← N 27.469287°
W 48.867188°		 ← 2 167.82 m → N 27.469287°
W 48.845215°		 →
↑
2 167.99 m
↓
↑
2 167.99 m
↓
N 27.449790°
W 48.867188°		 ← 2 168.20 m →
4 700 220 m²		 N 27.449790°
W 48.845215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5968 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6891 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.364288330078125 y=0.420623779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.364288330078125 × 214)
    floor (0.364288330078125 × 16384)
    floor (5968.5)     		tx = 5968
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420623779296875 × 214)
    floor (0.420623779296875 × 16384)
    floor (6891.5)     		ty = 6891
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5968 / 6891 ti = "14/5968/6891"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5968/6891.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5968 ÷ 214
    5968 ÷ 16384     		x = 0.3642578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6891 ÷ 214
    6891 ÷ 16384     		y = 0.42059326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3642578125 × 2 - 1) × π
    -0.271484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.85289332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42059326171875 × 2 - 1) × π
    0.1588134765625 × 3.1415926535     		Φ = 0.498927251245544
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.85289332} λ = -0.85289332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.498927251245544))-π/2
    2×atan(1.64695355533729)-π/2
    2×1.0251129181875-π/2
    2.050225836375-1.57079632675     		φ = 0.47942951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.85289332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -48.867188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.47942951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.469287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5968 KachelY 6891 -0.85289332 0.47942951 -48.867188 27.469287
    Oben rechts KachelX + 1 5969 KachelY 6891 -0.85250982 0.47942951 -48.845215 27.469287
    Unten links KachelX 5968 KachelY + 1 6892 -0.85289332 0.47908922 -48.867188 27.449790
    Unten rechts KachelX + 1 5969 KachelY + 1 6892 -0.85250982 0.47908922 -48.845215 27.449790
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.47942951-0.47908922) × R
    0.000340290000000021 × 6371000     		dl = 2167.98759000013m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.47942951-0.47908922) × R
    0.000340290000000021 × 6371000     		dr = 2167.98759000013m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.85289332--0.85250982) × cos(0.47942951) × R
    0.000383499999999981 × 0.887258218826684 × 6371000     		do = 2167.81893000742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.85289332--0.85250982) × cos(0.47908922) × R
    0.000383499999999981 × 0.887415134068556 × 6371000     		du = 2168.20231764421m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.47942951)-sin(0.47908922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.887258218826684-0.887415134068556)×R²
    abs(-0.85250982--0.85289332)×0.000156915241872668×R²
    0.000383499999999981×0.000156915241872668×6371000²
    0.000383499999999981×0.000156915241872668×40589641000000     		ar = 4700220.17279903m²