Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59676 / 30478
↖ ↑ ↗
← N 68.897165°
W 16.094971°		 ← 109.97 m → N 68.897165°
W 16.092224°		 →
↑
109.96 m
↓
↑
109.96 m
↓
N 68.896176°
W 16.094971°		 ← 109.97 m →
12 093 m²		 N 68.896176°
W 16.092224°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59676 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455295562744141 y=0.232532501220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455295562744141 × 217)
    floor (0.455295562744141 × 131072)
    floor (59676.5)     		tx = 59676
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232532501220703 × 217)
    floor (0.232532501220703 × 131072)
    floor (30478.5)     		ty = 30478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59676 / 30478 ti = "17/59676/30478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59676/30478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59676 ÷ 217
    59676 ÷ 131072     		x = 0.455291748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30478 ÷ 217
    30478 ÷ 131072     		y = 0.232528686523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455291748046875 × 2 - 1) × π
    -0.08941650390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28091023
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232528686523438 × 2 - 1) × π
    0.534942626953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.68057182687993
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28091023} λ = -0.28091023}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68057182687993))-π/2
    2×atan(5.36862501765005)-π/2
    2×1.38663934850335-π/2
    2.77327869700671-1.57079632675     		φ = 1.20248237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28091023} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.094971°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20248237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.897165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59676 KachelY 30478 -0.28091023 1.20248237 -16.094971 68.897165
    Oben rechts KachelX + 1 59677 KachelY 30478 -0.28086229 1.20248237 -16.092224 68.897165
    Unten links KachelX 59676 KachelY + 1 30479 -0.28091023 1.20246511 -16.094971 68.896176
    Unten rechts KachelX + 1 59677 KachelY + 1 30479 -0.28086229 1.20246511 -16.092224 68.896176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20248237-1.20246511) × R
    1.72600000001299e-05 × 6371000     		dl = 109.963460000828m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20248237-1.20246511) × R
    1.72600000001299e-05 × 6371000     		dr = 109.963460000828m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28091023--0.28086229) × cos(1.20248237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360042974534232 × 6371000     		do = 109.966391928847m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28091023--0.28086229) × cos(1.20246511) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.360059076951118 × 6371000     		du = 109.97131002144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20248237)-sin(1.20246511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.360042974534232-0.360059076951118)×R²
    abs(-0.28086229--0.28091023)×1.6102416885988e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.6102416885988e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.6102416885988e-05×40589641000000     		ar = 12092.5553459825m²