Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59674 / 58684
↖ ↑ ↗
← S 80.470428°
E147.799072°		 ← 101.13 m → S 80.470428°
E147.804566°		 →
↑
101.17 m
↓
↑
101.17 m
↓
S 80.471338°
E147.799072°		 ← 101.12 m →
10 231 m²		 S 80.471338°
E147.804566°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59674 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58684 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910560607910156 y=0.895454406738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910560607910156 × 216)
    floor (0.910560607910156 × 65536)
    floor (59674.5)     		tx = 59674
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895454406738281 × 216)
    floor (0.895454406738281 × 65536)
    floor (58684.5)     		ty = 58684
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59674 / 58684 ti = "16/59674/58684"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59674/58684.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59674 ÷ 216
    59674 ÷ 65536     		x = 0.910552978515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58684 ÷ 216
    58684 ÷ 65536     		y = 0.89544677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910552978515625 × 2 - 1) × π
    0.82110595703125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57958044
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.89544677734375 × 2 - 1) × π
    -0.7908935546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.48466538110675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57958044} λ = 2.57958044}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48466538110675))-π/2
    2×atan(0.0833534414824066)-π/2
    2×0.08316120132739-π/2
    0.16632240265478-1.57079632675     		φ = -1.40447392
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57958044} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.799072°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40447392 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.470428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59674 KachelY 58684 2.57958044 -1.40447392 147.799072 -80.470428
    Oben rechts KachelX + 1 59675 KachelY 58684 2.57967632 -1.40447392 147.804566 -80.470428
    Unten links KachelX 59674 KachelY + 1 58685 2.57958044 -1.40448980 147.799072 -80.471338
    Unten rechts KachelX + 1 59675 KachelY + 1 58685 2.57967632 -1.40448980 147.804566 -80.471338
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40447392--1.40448980) × R
    1.58799999998571e-05 × 6371000     		dl = 101.17147999909m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40447392--1.40448980) × R
    1.58799999998571e-05 × 6371000     		dr = 101.17147999909m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57958044-2.57967632) × cos(-1.40447392) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.165556633327098 × 6371000     		do = 101.130514491609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57958044-2.57967632) × cos(-1.40448980) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.165540972445706 × 6371000     		du = 101.120948019032m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40447392)-sin(-1.40448980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165556633327098-0.165540972445706)×R²
    abs(2.57967632-2.57958044)×1.56608813917658e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.56608813917658e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.56608813917658e-05×40589641000000     		ar = 10231.0398970842m²