Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59673 / 58681
↖ ↑ ↗
← S 80.467700°
E147.793579°		 ← 101.15 m → S 80.467700°
E147.799072°		 →
↑
101.17 m
↓
↑
101.17 m
↓
S 80.468609°
E147.793579°		 ← 101.14 m →
10 233 m²		 S 80.468609°
E147.799072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59673 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58681 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910545349121094 y=0.895408630371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910545349121094 × 216)
    floor (0.910545349121094 × 65536)
    floor (59673.5)     		tx = 59673
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895408630371094 × 216)
    floor (0.895408630371094 × 65536)
    floor (58681.5)     		ty = 58681
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59673 / 58681 ti = "16/59673/58681"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59673/58681.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59673 ÷ 216
    59673 ÷ 65536     		x = 0.910537719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58681 ÷ 216
    58681 ÷ 65536     		y = 0.895401000976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910537719726562 × 2 - 1) × π
    0.821075439453125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57948457
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.895401000976562 × 2 - 1) × π
    -0.790802001953125 × 3.1415926535     		Φ = -2.48437775970903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57948457} λ = 2.57948457}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48437775970903))-π/2
    2×atan(0.0833774191638324)-π/2
    2×0.0831850135189654-π/2
    0.166370027037931-1.57079632675     		φ = -1.40442630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57948457} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.793579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40442630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.467700°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59673 KachelY 58681 2.57948457 -1.40442630 147.793579 -80.467700
    Oben rechts KachelX + 1 59674 KachelY 58681 2.57958044 -1.40442630 147.799072 -80.467700
    Unten links KachelX 59673 KachelY + 1 58682 2.57948457 -1.40444218 147.793579 -80.468609
    Unten rechts KachelX + 1 59674 KachelY + 1 58682 2.57958044 -1.40444218 147.799072 -80.468609
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40442630--1.40444218) × R
    1.58800000000792e-05 × 6371000     		dl = 101.171480000504m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40442630--1.40444218) × R
    1.58800000000792e-05 × 6371000     		dr = 101.171480000504m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57948457-2.57958044) × cos(-1.40442630) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.165603595996915 × 6371000     		do = 101.148651102934m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57948457-2.57958044) × cos(-1.40444218) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.16558793524073 × 6371000     		du = 101.139085704587m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40442630)-sin(-1.40444218))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165603595996915-0.16558793524073)×R²
    abs(2.57958044-2.57948457)×1.56607561852817e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.56607561852817e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.56607561852817e-05×40589641000000     		ar = 10232.8748597997m²