Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59671 / 86266
↖ ↑ ↗
← S 49.371643°
W 16.108704°		 ← 198.88 m → S 49.371643°
W 16.105957°		 →
↑
198.90 m
↓
↑
198.90 m
↓
S 49.373432°
W 16.108704°		 ← 198.87 m →
39 557 m²		 S 49.373432°
W 16.105957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455257415771484 y=0.658161163330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455257415771484 × 217)
    floor (0.455257415771484 × 131072)
    floor (59671.5)     		tx = 59671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658161163330078 × 217)
    floor (0.658161163330078 × 131072)
    floor (86266.5)     		ty = 86266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59671 / 86266 ti = "17/59671/86266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59671/86266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59671 ÷ 217
    59671 ÷ 131072     		x = 0.455253601074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86266 ÷ 217
    86266 ÷ 131072     		y = 0.658157348632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455253601074219 × 2 - 1) × π
    -0.0894927978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28114992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658157348632812 × 2 - 1) × π
    -0.316314697265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.993731929123764
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28114992} λ = -0.28114992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.993731929123764))-π/2
    2×atan(0.370192577460377)-π/2
    2×0.354549296720202-π/2
    0.709098593440405-1.57079632675     		φ = -0.86169773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28114992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.108704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86169773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.371643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59671 KachelY 86266 -0.28114992 -0.86169773 -16.108704 -49.371643
    Oben rechts KachelX + 1 59672 KachelY 86266 -0.28110198 -0.86169773 -16.105957 -49.371643
    Unten links KachelX 59671 KachelY + 1 86267 -0.28114992 -0.86172895 -16.108704 -49.373432
    Unten rechts KachelX + 1 59672 KachelY + 1 86267 -0.28110198 -0.86172895 -16.105957 -49.373432
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86169773--0.86172895) × R
    3.12199999999985e-05 × 6371000     		dl = 198.90261999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86169773--0.86172895) × R
    3.12199999999985e-05 × 6371000     		dr = 198.90261999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28114992--0.28110198) × cos(-0.86169773) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651149916471971 × 6371000     		do = 198.87794508949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28114992--0.28110198) × cos(-0.86172895) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.651126221762713 × 6371000     		du = 198.870708115381m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86169773)-sin(-0.86172895))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.651149916471971-0.651126221762713)×R²
    abs(-0.28110198--0.28114992)×2.36947092583373e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36947092583373e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36947092583373e-05×40589641000000     		ar = 39556.624615136m²