Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59671 / 30198
↖ ↑ ↗
← N 69.172326°
W 16.108704°		 ← 108.60 m → N 69.172326°
W 16.105957°		 →
↑
108.63 m
↓
↑
108.63 m
↓
N 69.171349°
W 16.108704°		 ← 108.60 m →
11 797 m²		 N 69.171349°
W 16.105957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455257415771484 y=0.230396270751953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455257415771484 × 217)
    floor (0.455257415771484 × 131072)
    floor (59671.5)     		tx = 59671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230396270751953 × 217)
    floor (0.230396270751953 × 131072)
    floor (30198.5)     		ty = 30198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59671 / 30198 ti = "17/59671/30198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59671/30198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59671 ÷ 217
    59671 ÷ 131072     		x = 0.455253601074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30198 ÷ 217
    30198 ÷ 131072     		y = 0.230392456054688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455253601074219 × 2 - 1) × π
    -0.0894927978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28114992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230392456054688 × 2 - 1) × π
    0.539215087890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.69399415877354
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28114992} λ = -0.28114992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69399415877354))-π/2
    2×atan(5.44117025846253)-π/2
    2×1.38904058162968-π/2
    2.77808116325936-1.57079632675     		φ = 1.20728484
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28114992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.108704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20728484 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.172326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59671 KachelY 30198 -0.28114992 1.20728484 -16.108704 69.172326
    Oben rechts KachelX + 1 59672 KachelY 30198 -0.28110198 1.20728484 -16.105957 69.172326
    Unten links KachelX 59671 KachelY + 1 30199 -0.28114992 1.20726779 -16.108704 69.171349
    Unten rechts KachelX + 1 59672 KachelY + 1 30199 -0.28110198 1.20726779 -16.105957 69.171349
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20728484-1.20726779) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dl = 108.625550000471m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20728484-1.20726779) × R
    1.7050000000074e-05 × 6371000     		dr = 108.625550000471m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28114992--0.28110198) × cos(1.20728484) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.355558443995555 × 6371000     		do = 108.596700870645m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28114992--0.28110198) × cos(1.20726779) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.355574379795423 × 6371000     		du = 108.601568074113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20728484)-sin(1.20726779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355558443995555-0.355574379795423)×R²
    abs(-0.28110198--0.28114992)×1.59357998683607e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59357998683607e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59357998683607e-05×40589641000000     		ar = 11796.6407117971m²