Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59671 / 30193
↖ ↑ ↗
← N 69.177208°
W 16.108704°		 ← 108.57 m → N 69.177208°
W 16.105957°		 →
↑
108.56 m
↓
↑
108.56 m
↓
N 69.176232°
W 16.108704°		 ← 108.58 m →
11 787 m²		 N 69.176232°
W 16.105957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59671 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455257415771484 y=0.230358123779297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455257415771484 × 217)
    floor (0.455257415771484 × 131072)
    floor (59671.5)     		tx = 59671
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.230358123779297 × 217)
    floor (0.230358123779297 × 131072)
    floor (30193.5)     		ty = 30193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59671 / 30193 ti = "17/59671/30193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59671/30193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59671 ÷ 217
    59671 ÷ 131072     		x = 0.455253601074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30193 ÷ 217
    30193 ÷ 131072     		y = 0.230354309082031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455253601074219 × 2 - 1) × π
    -0.0894927978515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28114992
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.230354309082031 × 2 - 1) × π
    0.539291381835938 × 3.1415926535     		Φ = 1.69423384327164
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28114992} λ = -0.28114992}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69423384327164))-π/2
    2×atan(5.44247457893146)-π/2
    2×1.38908318778108-π/2
    2.77816637556216-1.57079632675     		φ = 1.20737005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28114992} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.108704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20737005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.177208°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59671 KachelY 30193 -0.28114992 1.20737005 -16.108704 69.177208
    Oben rechts KachelX + 1 59672 KachelY 30193 -0.28110198 1.20737005 -16.105957 69.177208
    Unten links KachelX 59671 KachelY + 1 30194 -0.28114992 1.20735301 -16.108704 69.176232
    Unten rechts KachelX + 1 59672 KachelY + 1 30194 -0.28110198 1.20735301 -16.105957 69.176232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20737005-1.20735301) × R
    1.70399999999127e-05 × 6371000     		dl = 108.561839999444m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20737005-1.20735301) × R
    1.70399999999127e-05 × 6371000     		dr = 108.561839999444m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28114992--0.28110198) × cos(1.20737005) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.355478800833254 × 6371000     		do = 108.572375798864m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28114992--0.28110198) × cos(1.20735301) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.355494727802859 × 6371000     		du = 108.577240305341m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20737005)-sin(1.20735301))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.355478800833254-0.355494727802859)×R²
    abs(-0.28110198--0.28114992)×1.59269696052844e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.59269696052844e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.59269696052844e-05×40589641000000     		ar = 11787.0809400951m²