Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59670 / 58647
↖ ↑ ↗
← S 80.436720°
E147.777100°		 ← 101.47 m → S 80.436720°
E147.782593°		 →
↑
101.49 m
↓
↑
101.49 m
↓
S 80.437633°
E147.777100°		 ← 101.46 m →
10 298 m²		 S 80.437633°
E147.782593°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59670 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58647 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910499572753906 y=0.894889831542969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910499572753906 × 216)
    floor (0.910499572753906 × 65536)
    floor (59670.5)     		tx = 59670
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894889831542969 × 216)
    floor (0.894889831542969 × 65536)
    floor (58647.5)     		ty = 58647
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59670 / 58647 ti = "16/59670/58647"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59670/58647.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59670 ÷ 216
    59670 ÷ 65536     		x = 0.910491943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58647 ÷ 216
    58647 ÷ 65536     		y = 0.894882202148438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910491943359375 × 2 - 1) × π
    0.82098388671875 × 3.1415926535     		Λ = 2.57919695
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894882202148438 × 2 - 1) × π
    -0.789764404296875 × 3.1415926535     		Φ = -2.48111805053487
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57919695} λ = 2.57919695}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48111805053487))-π/2
    2×atan(0.0836496487555951)-π/2
    2×0.0834553575915712-π/2
    0.166910715183142-1.57079632675     		φ = -1.40388561
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57919695} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.777100°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40388561 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.436720°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59670 KachelY 58647 2.57919695 -1.40388561 147.777100 -80.436720
    Oben rechts KachelX + 1 59671 KachelY 58647 2.57929282 -1.40388561 147.782593 -80.436720
    Unten links KachelX 59670 KachelY + 1 58648 2.57919695 -1.40390154 147.777100 -80.437633
    Unten rechts KachelX + 1 59671 KachelY + 1 58648 2.57929282 -1.40390154 147.782593 -80.437633
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40388561--1.40390154) × R
    1.59299999999973e-05 × 6371000     		dl = 101.490029999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40388561--1.40390154) × R
    1.59299999999973e-05 × 6371000     		dr = 101.490029999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57919695-2.57929282) × cos(-1.40388561) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166136796132717 × 6371000     		do = 101.474323224844m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57919695-2.57929282) × cos(-1.40390154) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166121087495384 × 6371000     		du = 101.464728581278m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40388561)-sin(-1.40390154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166136796132717-0.166121087495384)×R²
    abs(2.57929282-2.57919695)×1.57086373326898e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.57086373326898e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.57086373326898e-05×40589641000000     		ar = 10298.1452281119m²