Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59669 / 38645
↖ ↑ ↗
← N 59.191406°
W 16.114197°		 ← 156.43 m → N 59.191406°
W 16.111450°		 →
↑
156.41 m
↓
↑
156.41 m
↓
N 59.189999°
W 16.114197°		 ← 156.44 m →
24 467 m²		 N 59.189999°
W 16.111450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59669 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455242156982422 y=0.294841766357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455242156982422 × 217)
    floor (0.455242156982422 × 131072)
    floor (59669.5)     		tx = 59669
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294841766357422 × 217)
    floor (0.294841766357422 × 131072)
    floor (38645.5)     		ty = 38645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59669 / 38645 ti = "17/59669/38645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59669/38645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59669 ÷ 217
    59669 ÷ 131072     		x = 0.455238342285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38645 ÷ 217
    38645 ÷ 131072     		y = 0.294837951660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455238342285156 × 2 - 1) × π
    -0.0895233154296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28124579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.294837951660156 × 2 - 1) × π
    0.410324096679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.28907116768293
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28124579} λ = -0.28124579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.28907116768293))-π/2
    2×atan(3.62941387276976)-π/2
    2×1.30194062248538-π/2
    2.60388124497076-1.57079632675     		φ = 1.03308492
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28124579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.114197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03308492 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.191406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59669 KachelY 38645 -0.28124579 1.03308492 -16.114197 59.191406
    Oben rechts KachelX + 1 59670 KachelY 38645 -0.28119785 1.03308492 -16.111450 59.191406
    Unten links KachelX 59669 KachelY + 1 38646 -0.28124579 1.03306037 -16.114197 59.189999
    Unten rechts KachelX + 1 59670 KachelY + 1 38646 -0.28119785 1.03306037 -16.111450 59.189999
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03308492-1.03306037) × R
    2.45500000000121e-05 × 6371000     		dl = 156.408050000077m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03308492-1.03306037) × R
    2.45500000000121e-05 × 6371000     		dr = 156.408050000077m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28124579--0.28119785) × cos(1.03308492) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.512171700672648 × 6371000     		do = 156.430420684899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28124579--0.28119785) × cos(1.03306037) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.512192786097972 × 6371000     		du = 156.436860716532m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03308492)-sin(1.03306037))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.512171700672648-0.512192786097972)×R²
    abs(-0.28119785--0.28124579)×2.10854253244186e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.10854253244186e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.10854253244186e-05×40589641000000     		ar = 24467.480697613m²