Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59667 / 59085
↖ ↑ ↗
← S 80.828280°
E147.760620°		 ← 97.36 m → S 80.828280°
E147.766113°		 →
↑
97.35 m
↓
↑
97.35 m
↓
S 80.829156°
E147.760620°		 ← 97.35 m →
9 477 m²		 S 80.829156°
E147.766113°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 59085 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910453796386719 y=0.901573181152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910453796386719 × 216)
    floor (0.910453796386719 × 65536)
    floor (59667.5)     		tx = 59667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.901573181152344 × 216)
    floor (0.901573181152344 × 65536)
    floor (59085.5)     		ty = 59085
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59667 / 59085 ti = "16/59667/59085"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59667/59085.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59667 ÷ 216
    59667 ÷ 65536     		x = 0.910446166992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 59085 ÷ 216
    59085 ÷ 65536     		y = 0.901565551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910446166992188 × 2 - 1) × π
    0.820892333984375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57890933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.901565551757812 × 2 - 1) × π
    -0.803131103515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.52311077460204
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57890933} λ = 2.57890933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.52311077460204))-π/2
    2×atan(0.0802097039455381)-π/2
    2×0.0800383526109599-π/2
    0.16007670522192-1.57079632675     		φ = -1.41071962
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57890933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.760620°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41071962 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.828280°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59667 KachelY 59085 2.57890933 -1.41071962 147.760620 -80.828280
    Oben rechts KachelX + 1 59668 KachelY 59085 2.57900520 -1.41071962 147.766113 -80.828280
    Unten links KachelX 59667 KachelY + 1 59086 2.57890933 -1.41073490 147.760620 -80.829156
    Unten rechts KachelX + 1 59668 KachelY + 1 59086 2.57900520 -1.41073490 147.766113 -80.829156
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41071962--1.41073490) × R
    1.52799999999509e-05 × 6371000     		dl = 97.3488799996871m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41071962--1.41073490) × R
    1.52799999999509e-05 × 6371000     		dr = 97.3488799996871m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57890933-2.57900520) × cos(-1.41071962) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159393933186205 × 6371000     		do = 97.3558650023291m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57890933-2.57900520) × cos(-1.41073490) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.159378848521486 × 6371000     		du = 97.3466514736043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41071962)-sin(-1.41073490))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.159393933186205-0.159378848521486)×R²
    abs(2.57900520-2.57890933)×1.50846647188341e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.50846647188341e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.50846647188341e-05×40589641000000     		ar = 9477.03595589468m²