Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59667 / 30469
↖ ↑ ↗
← N 68.906063°
W 16.119690°		 ← 109.90 m → N 68.906063°
W 16.116944°		 →
↑
109.90 m
↓
↑
109.90 m
↓
N 68.905074°
W 16.119690°		 ← 109.90 m →
12 078 m²		 N 68.905074°
W 16.116944°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59667 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455226898193359 y=0.232463836669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455226898193359 × 217)
    floor (0.455226898193359 × 131072)
    floor (59667.5)     		tx = 59667
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.232463836669922 × 217)
    floor (0.232463836669922 × 131072)
    floor (30469.5)     		ty = 30469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59667 / 30469 ti = "17/59667/30469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59667/30469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59667 ÷ 217
    59667 ÷ 131072     		x = 0.455223083496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30469 ÷ 217
    30469 ÷ 131072     		y = 0.232460021972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455223083496094 × 2 - 1) × π
    -0.0895538330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28134166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.232460021972656 × 2 - 1) × π
    0.535079956054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.68100325897651
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28134166} λ = -0.28134166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.68100325897651))-π/2
    2×atan(5.37094171450992)-π/2
    2×1.38671699992234-π/2
    2.77343399984469-1.57079632675     		φ = 1.20263767
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28134166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.119690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20263767 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.906063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59667 KachelY 30469 -0.28134166 1.20263767 -16.119690 68.906063
    Oben rechts KachelX + 1 59668 KachelY 30469 -0.28129373 1.20263767 -16.116944 68.906063
    Unten links KachelX 59667 KachelY + 1 30470 -0.28134166 1.20262042 -16.119690 68.905074
    Unten rechts KachelX + 1 59668 KachelY + 1 30470 -0.28129373 1.20262042 -16.116944 68.905074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20263767-1.20262042) × R
    1.72500000001907e-05 × 6371000     		dl = 109.899750001215m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20263767-1.20262042) × R
    1.72500000001907e-05 × 6371000     		dr = 109.899750001215m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28134166--0.28129373) × cos(1.20263767) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.359898085275821 × 6371000     		do = 109.899209912878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28134166--0.28129373) × cos(1.20262042) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.359914179327768 × 6371000     		du = 109.904124425251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20263767)-sin(1.20262042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.359898085275821-0.359914179327768)×R²
    abs(-0.28129373--0.28134166)×1.60940519466357e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.60940519466357e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.60940519466357e-05×40589641000000     		ar = 12078.1657467585m²