Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59666 / 54450
↖ ↑ ↗
← N 29.108976°
W 16.122436°		 ← 266.85 m → N 29.108976°
W 16.119690°		 →
↑
266.88 m
↓
↑
266.88 m
↓
N 29.106576°
W 16.122436°		 ← 266.86 m →
71 218 m²		 N 29.106576°
W 16.119690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455219268798828 y=0.415424346923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455219268798828 × 217)
    floor (0.455219268798828 × 131072)
    floor (59666.5)     		tx = 59666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415424346923828 × 217)
    floor (0.415424346923828 × 131072)
    floor (54450.5)     		ty = 54450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59666 / 54450 ti = "17/59666/54450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59666/54450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59666 ÷ 217
    59666 ÷ 131072     		x = 0.455215454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54450 ÷ 217
    54450 ÷ 131072     		y = 0.415420532226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455215454101562 × 2 - 1) × π
    -0.089569091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28138960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415420532226562 × 2 - 1) × π
    0.169158935546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.531428469187943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28138960} λ = -0.28138960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.531428469187943))-π/2
    2×atan(1.70136091525572)-π/2
    2×1.03942190125449-π/2
    2.07884380250899-1.57079632675     		φ = 0.50804748
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28138960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.122436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50804748 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.108976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59666 KachelY 54450 -0.28138960 0.50804748 -16.122436 29.108976
    Oben rechts KachelX + 1 59667 KachelY 54450 -0.28134166 0.50804748 -16.119690 29.108976
    Unten links KachelX 59666 KachelY + 1 54451 -0.28138960 0.50800559 -16.122436 29.106576
    Unten rechts KachelX + 1 59667 KachelY + 1 54451 -0.28134166 0.50800559 -16.119690 29.106576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50804748-0.50800559) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dl = 266.881189999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50804748-0.50800559) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dr = 266.881189999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28138960--0.28134166) × cos(0.50804748) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873696019281793 × 6371000     		do = 266.84925322433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28138960--0.28134166) × cos(0.50800559) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873716396838455 × 6371000     		du = 266.855477054653m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50804748)-sin(0.50800559))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873696019281793-0.873716396838455)×R²
    abs(-0.28134166--0.28138960)×2.03775566611775e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03775566611775e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03775566611775e-05×40589641000000     		ar = 71217.8767731978m²