Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59666 / 35716
↖ ↑ ↗
← N 63.069891°
W 16.122436°		 ← 138.33 m → N 63.069891°
W 16.119690°		 →
↑
138.38 m
↓
↑
138.38 m
↓
N 63.068646°
W 16.122436°		 ← 138.33 m →
19 142 m²		 N 63.068646°
W 16.119690°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59666 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455219268798828 y=0.272495269775391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455219268798828 × 217)
    floor (0.455219268798828 × 131072)
    floor (59666.5)     		tx = 59666
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272495269775391 × 217)
    floor (0.272495269775391 × 131072)
    floor (35716.5)     		ty = 35716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59666 / 35716 ti = "17/59666/35716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59666/35716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59666 ÷ 217
    59666 ÷ 131072     		x = 0.455215454101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35716 ÷ 217
    35716 ÷ 131072     		y = 0.272491455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455215454101562 × 2 - 1) × π
    -0.089569091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28138960
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272491455078125 × 2 - 1) × π
    0.45501708984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42947834667007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28138960} λ = -0.28138960}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42947834667007))-π/2
    2×atan(4.17651992803457)-π/2
    2×1.33578678631677-π/2
    2.67157357263353-1.57079632675     		φ = 1.10077725
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28138960} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.122436°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10077725 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.069891°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59666 KachelY 35716 -0.28138960 1.10077725 -16.122436 63.069891
    Oben rechts KachelX + 1 59667 KachelY 35716 -0.28134166 1.10077725 -16.119690 63.069891
    Unten links KachelX 59666 KachelY + 1 35717 -0.28138960 1.10075553 -16.122436 63.068646
    Unten rechts KachelX + 1 59667 KachelY + 1 35717 -0.28134166 1.10075553 -16.119690 63.068646
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10077725-1.10075553) × R
    2.17199999998918e-05 × 6371000     		dl = 138.378119999311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10077725-1.10075553) × R
    2.17199999998918e-05 × 6371000     		dr = 138.378119999311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28138960--0.28134166) × cos(1.10077725) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.452903293562029 × 6371000     		do = 138.32832358469m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28138960--0.28134166) × cos(1.10075553) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.452922658130761 × 6371000     		du = 138.334238022424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10077725)-sin(1.10075553))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452903293562029-0.452922658130761)×R²
    abs(-0.28134166--0.28138960)×1.93645687314725e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.93645687314725e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.93645687314725e-05×40589641000000     		ar = 19142.0225754463m²