Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59664 / 85232
↖ ↑ ↗
← S 47.487513°
W 16.127929°		 ← 206.35 m → S 47.487513°
W 16.125183°		 →
↑
206.36 m
↓
↑
206.36 m
↓
S 47.489369°
W 16.127929°		 ← 206.34 m →
42 581 m²		 S 47.489369°
W 16.125183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85232 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455204010009766 y=0.650272369384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455204010009766 × 217)
    floor (0.455204010009766 × 131072)
    floor (59664.5)     		tx = 59664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650272369384766 × 217)
    floor (0.650272369384766 × 131072)
    floor (85232.5)     		ty = 85232
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59664 / 85232 ti = "17/59664/85232"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59664/85232.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59664 ÷ 217
    59664 ÷ 131072     		x = 0.4552001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85232 ÷ 217
    85232 ÷ 131072     		y = 0.6502685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4552001953125 × 2 - 1) × π
    -0.089599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28148547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6502685546875 × 2 - 1) × π
    -0.300537109375 × 3.1415926535     		Φ = -0.944165174916626
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28148547} λ = -0.28148547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.944165174916626))-π/2
    2×atan(0.389004185836429)-π/2
    2×0.3709914356116-π/2
    0.741982871223201-1.57079632675     		φ = -0.82881346
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28148547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.127929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82881346 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.487513°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59664 KachelY 85232 -0.28148547 -0.82881346 -16.127929 -47.487513
    Oben rechts KachelX + 1 59665 KachelY 85232 -0.28143754 -0.82881346 -16.125183 -47.487513
    Unten links KachelX 59664 KachelY + 1 85233 -0.28148547 -0.82884585 -16.127929 -47.489369
    Unten rechts KachelX + 1 59665 KachelY + 1 85233 -0.28143754 -0.82884585 -16.125183 -47.489369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82881346--0.82884585) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dl = 206.356689999957m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82881346--0.82884585) × R
    3.23899999999933e-05 × 6371000     		dr = 206.356689999957m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28148547--0.28143754) × cos(-0.82881346) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.675750869883859 × 6371000     		do = 206.348657402127m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28148547--0.28143754) × cos(-0.82884585) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.675726993885949 × 6371000     		du = 206.341366578937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82881346)-sin(-0.82884585))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.675750869883859-0.675726993885949)×R²
    abs(-0.28143754--0.28148547)×2.38759979102054e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.38759979102054e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.38759979102054e-05×40589641000000     		ar = 42580.6736760539m²