Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59664 / 38544
↖ ↑ ↗
← N 59.333189°
W 16.127929°		 ← 155.75 m → N 59.333189°
W 16.125183°		 →
↑
155.77 m
↓
↑
155.77 m
↓
N 59.331788°
W 16.127929°		 ← 155.75 m →
24 262 m²		 N 59.331788°
W 16.125183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455204010009766 y=0.294071197509766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455204010009766 × 217)
    floor (0.455204010009766 × 131072)
    floor (59664.5)     		tx = 59664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.294071197509766 × 217)
    floor (0.294071197509766 × 131072)
    floor (38544.5)     		ty = 38544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59664 / 38544 ti = "17/59664/38544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59664/38544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59664 ÷ 217
    59664 ÷ 131072     		x = 0.4552001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38544 ÷ 217
    38544 ÷ 131072     		y = 0.2940673828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4552001953125 × 2 - 1) × π
    -0.089599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28148547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2940673828125 × 2 - 1) × π
    0.411865234375 × 3.1415926535     		Φ = 1.29391279454456
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28148547} λ = -0.28148547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.29391279454456))-π/2
    2×atan(3.6470287483859)-π/2
    2×1.30317791898978-π/2
    2.60635583797955-1.57079632675     		φ = 1.03555951
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28148547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.127929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03555951 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.333189°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59664 KachelY 38544 -0.28148547 1.03555951 -16.127929 59.333189
    Oben rechts KachelX + 1 59665 KachelY 38544 -0.28143754 1.03555951 -16.125183 59.333189
    Unten links KachelX 59664 KachelY + 1 38545 -0.28148547 1.03553506 -16.127929 59.331788
    Unten rechts KachelX + 1 59665 KachelY + 1 38545 -0.28143754 1.03553506 -16.125183 59.331788
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03555951-1.03553506) × R
    2.44499999999537e-05 × 6371000     		dl = 155.770949999705m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03555951-1.03553506) × R
    2.44499999999537e-05 × 6371000     		dr = 155.770949999705m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28148547--0.28143754) × cos(1.03555951) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.510044751189825 × 6371000     		do = 155.748300614265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28148547--0.28143754) × cos(1.03553506) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.510065781652699 × 6371000     		du = 155.7547225191m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03555951)-sin(1.03553506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.510044751189825-0.510065781652699)×R²
    abs(-0.28143754--0.28148547)×2.10304628742719e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.10304628742719e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.10304628742719e-05×40589641000000     		ar = 24261.5609217397m²