Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59664 / 30128
↖ ↑ ↗
← N 69.240578°
W 16.127929°		 ← 108.23 m → N 69.240578°
W 16.125183°		 →
↑
108.24 m
↓
↑
108.24 m
↓
N 69.239605°
W 16.127929°		 ← 108.24 m →
11 716 m²		 N 69.239605°
W 16.125183°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59664 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455204010009766 y=0.229862213134766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455204010009766 × 217)
    floor (0.455204010009766 × 131072)
    floor (59664.5)     		tx = 59664
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229862213134766 × 217)
    floor (0.229862213134766 × 131072)
    floor (30128.5)     		ty = 30128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59664 / 30128 ti = "17/59664/30128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59664/30128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59664 ÷ 217
    59664 ÷ 131072     		x = 0.4552001953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30128 ÷ 217
    30128 ÷ 131072     		y = 0.2298583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4552001953125 × 2 - 1) × π
    -0.089599609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28148547
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2298583984375 × 2 - 1) × π
    0.540283203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.69734974174695
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28148547} λ = -0.28148547}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.69734974174695))-π/2
    2×atan(5.45945922464794)-π/2
    2×1.3896361999146-π/2
    2.77927239982919-1.57079632675     		φ = 1.20847607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28148547} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.127929°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20847607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.240578°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59664 KachelY 30128 -0.28148547 1.20847607 -16.127929 69.240578
    Oben rechts KachelX + 1 59665 KachelY 30128 -0.28143754 1.20847607 -16.125183 69.240578
    Unten links KachelX 59664 KachelY + 1 30129 -0.28148547 1.20845908 -16.127929 69.239605
    Unten rechts KachelX + 1 59665 KachelY + 1 30129 -0.28143754 1.20845908 -16.125183 69.239605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20847607-1.20845908) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dl = 108.243289999965m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20847607-1.20845908) × R
    1.69899999999945e-05 × 6371000     		dr = 108.243289999965m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28148547--0.28143754) × cos(1.20847607) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.354444804041246 × 6371000     		do = 108.233984885053m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28148547--0.28143754) × cos(1.20845908) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.354460690947273 × 6371000     		du = 108.238836142928m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20847607)-sin(1.20845908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.354444804041246-0.354460690947273)×R²
    abs(-0.28143754--0.28148547)×1.58869060270517e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.58869060270517e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.58869060270517e-05×40589641000000     		ar = 11715.8651722613m²