Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59663 / 35756
↖ ↑ ↗
← N 63.020090°
W 16.130676°		 ← 138.56 m → N 63.020090°
W 16.127929°		 →
↑
138.57 m
↓
↑
138.57 m
↓
N 63.018844°
W 16.130676°		 ← 138.57 m →
19 201 m²		 N 63.018844°
W 16.127929°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59663 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35756 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455196380615234 y=0.272800445556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455196380615234 × 217)
    floor (0.455196380615234 × 131072)
    floor (59663.5)     		tx = 59663
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272800445556641 × 217)
    floor (0.272800445556641 × 131072)
    floor (35756.5)     		ty = 35756
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59663 / 35756 ti = "17/59663/35756"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59663/35756.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59663 ÷ 217
    59663 ÷ 131072     		x = 0.455192565917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35756 ÷ 217
    35756 ÷ 131072     		y = 0.272796630859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455192565917969 × 2 - 1) × π
    -0.0896148681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28153341
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272796630859375 × 2 - 1) × π
    0.45440673828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42756087068527
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28153341} λ = -0.28153341}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42756087068527))-π/2
    2×atan(4.16851922440242)-π/2
    2×1.33535219940651-π/2
    2.67070439881302-1.57079632675     		φ = 1.09990807
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28153341} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.130676°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09990807 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.020090°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59663 KachelY 35756 -0.28153341 1.09990807 -16.130676 63.020090
    Oben rechts KachelX + 1 59664 KachelY 35756 -0.28148547 1.09990807 -16.127929 63.020090
    Unten links KachelX 59663 KachelY + 1 35757 -0.28153341 1.09988632 -16.130676 63.018844
    Unten rechts KachelX + 1 59664 KachelY + 1 35757 -0.28148547 1.09988632 -16.127929 63.018844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09990807-1.09988632) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dl = 138.569249999564m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09990807-1.09988632) × R
    2.17499999999315e-05 × 6371000     		dr = 138.569249999564m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28153341--0.28148547) × cos(1.09990807) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453678048201374 × 6371000     		do = 138.564953593569m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28153341--0.28148547) × cos(1.09988632) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.453697430947107 × 6371000     		du = 138.570873583028m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09990807)-sin(1.09988632))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453678048201374-0.453697430947107)×R²
    abs(-0.28148547--0.28153341)×1.93827457335427e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93827457335427e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93827457335427e-05×40589641000000     		ar = 19201.2518607134m²