Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59662 / 86320
↖ ↑ ↗
← S 49.468124°
W 16.133423°		 ← 198.49 m → S 49.468124°
W 16.130676°		 →
↑
198.46 m
↓
↑
198.46 m
↓
S 49.469909°
W 16.133423°		 ← 198.48 m →
39 390 m²		 S 49.469909°
W 16.130676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86320 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455188751220703 y=0.658573150634766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455188751220703 × 217)
    floor (0.455188751220703 × 131072)
    floor (59662.5)     		tx = 59662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658573150634766 × 217)
    floor (0.658573150634766 × 131072)
    floor (86320.5)     		ty = 86320
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59662 / 86320 ti = "17/59662/86320"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59662/86320.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59662 ÷ 217
    59662 ÷ 131072     		x = 0.455184936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86320 ÷ 217
    86320 ÷ 131072     		y = 0.6585693359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455184936523438 × 2 - 1) × π
    -0.089630126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28158135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6585693359375 × 2 - 1) × π
    -0.317138671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.996320521703247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28158135} λ = -0.28158135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.996320521703247))-π/2
    2×atan(0.369235538927217)-π/2
    2×0.353707343526708-π/2
    0.707414687053417-1.57079632675     		φ = -0.86338164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28158135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.133423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86338164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.468124°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59662 KachelY 86320 -0.28158135 -0.86338164 -16.133423 -49.468124
    Oben rechts KachelX + 1 59663 KachelY 86320 -0.28153341 -0.86338164 -16.130676 -49.468124
    Unten links KachelX 59662 KachelY + 1 86321 -0.28158135 -0.86341279 -16.133423 -49.469909
    Unten rechts KachelX + 1 59663 KachelY + 1 86321 -0.28153341 -0.86341279 -16.130676 -49.469909
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86338164--0.86341279) × R
    3.11500000000908e-05 × 6371000     		dl = 198.456650000579m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86338164--0.86341279) × R
    3.11500000000908e-05 × 6371000     		dr = 198.456650000579m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28158135--0.28153341) × cos(-0.86338164) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649870991856825 × 6371000     		do = 198.487328592504m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28158135--0.28153341) × cos(-0.86341279) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.649847316154297 × 6371000     		du = 198.48009742354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86338164)-sin(-0.86341279))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.649870991856825-0.649847316154297)×R²
    abs(-0.28153341--0.28158135)×2.36757025283696e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36757025283696e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36757025283696e-05×40589641000000     		ar = 39390.41276634m²