Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59662 / 86041
↖ ↑ ↗
← S 48.967597°
W 16.133423°		 ← 200.51 m → S 48.967597°
W 16.130676°		 →
↑
200.50 m
↓
↑
200.50 m
↓
S 48.969400°
W 16.133423°		 ← 200.50 m →
40 200 m²		 S 48.969400°
W 16.130676°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59662 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455188751220703 y=0.656444549560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455188751220703 × 217)
    floor (0.455188751220703 × 131072)
    floor (59662.5)     		tx = 59662
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656444549560547 × 217)
    floor (0.656444549560547 × 131072)
    floor (86041.5)     		ty = 86041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59662 / 86041 ti = "17/59662/86041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59662/86041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59662 ÷ 217
    59662 ÷ 131072     		x = 0.455184936523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86041 ÷ 217
    86041 ÷ 131072     		y = 0.656440734863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455184936523438 × 2 - 1) × π
    -0.089630126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28158135
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656440734863281 × 2 - 1) × π
    -0.312881469726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.982946126709251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28158135} λ = -0.28158135}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982946126709251))-π/2
    2×atan(0.374207011987286)-π/2
    2×0.358075266717789-π/2
    0.716150533435579-1.57079632675     		φ = -0.85464579
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28158135} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.133423°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85464579 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.967597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59662 KachelY 86041 -0.28158135 -0.85464579 -16.133423 -48.967597
    Oben rechts KachelX + 1 59663 KachelY 86041 -0.28153341 -0.85464579 -16.130676 -48.967597
    Unten links KachelX 59662 KachelY + 1 86042 -0.28158135 -0.85467726 -16.133423 -48.969400
    Unten rechts KachelX + 1 59663 KachelY + 1 86042 -0.28153341 -0.85467726 -16.130676 -48.969400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85464579--0.85467726) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dl = 200.495370000213m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85464579--0.85467726) × R
    3.14700000000334e-05 × 6371000     		dr = 200.495370000213m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28158135--0.28153341) × cos(-0.85464579) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.656485745131278 × 6371000     		do = 200.507644506273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28158135--0.28153341) × cos(-0.85467726) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.656462005775822 × 6371000     		du = 200.500393896065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85464579)-sin(-0.85467726))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656485745131278-0.656462005775822)×R²
    abs(-0.28153341--0.28158135)×2.37393554559651e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37393554559651e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37393554559651e-05×40589641000000     		ar = 40200.1275197198m²