Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59659 / 58603
↖ ↑ ↗
← S 80.396482°
E147.716675°		 ← 101.90 m → S 80.396482°
E147.722168°		 →
↑
101.94 m
↓
↑
101.94 m
↓
S 80.397398°
E147.716675°		 ← 101.89 m →
10 387 m²		 S 80.397398°
E147.722168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59659 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910331726074219 y=0.894218444824219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910331726074219 × 216)
    floor (0.910331726074219 × 65536)
    floor (59659.5)     		tx = 59659
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894218444824219 × 216)
    floor (0.894218444824219 × 65536)
    floor (58603.5)     		ty = 58603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59659 / 58603 ti = "16/59659/58603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59659/58603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59659 ÷ 216
    59659 ÷ 65536     		x = 0.910324096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58603 ÷ 216
    58603 ÷ 65536     		y = 0.894210815429688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910324096679688 × 2 - 1) × π
    0.820648193359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57814234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894210815429688 × 2 - 1) × π
    -0.788421630859375 × 3.1415926535     		Φ = -2.4768996033683
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57814234} λ = 2.57814234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4768996033683))-π/2
    2×atan(0.0840032657122036)-π/2
    2×0.0838065070612169-π/2
    0.167613014122434-1.57079632675     		φ = -1.40318331
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57814234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.716675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40318331 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.396482°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59659 KachelY 58603 2.57814234 -1.40318331 147.716675 -80.396482
    Oben rechts KachelX + 1 59660 KachelY 58603 2.57823821 -1.40318331 147.722168 -80.396482
    Unten links KachelX 59659 KachelY + 1 58604 2.57814234 -1.40319931 147.716675 -80.397398
    Unten rechts KachelX + 1 59660 KachelY + 1 58604 2.57823821 -1.40319931 147.722168 -80.397398
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40318331--1.40319931) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dl = 101.936000000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40318331--1.40319931) × R
    1.6000000000016e-05 × 6371000     		dr = 101.936000000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57814234-2.57823821) × cos(-1.40318331) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166829295041255 × 6371000     		do = 101.897293088918m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57814234-2.57823821) × cos(-1.40319931) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166813519247195 × 6371000     		du = 101.887657426844m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40318331)-sin(-1.40319931))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166829295041255-0.166813519247195)×R²
    abs(2.57823821-2.57814234)×1.57757940602854e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.57757940602854e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.57757940602854e-05×40589641000000     		ar = 10386.5113580304m²