Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59658 / 86030
↖ ↑ ↗
← S 48.947759°
W 16.144409°		 ← 200.59 m → S 48.947759°
W 16.141663°		 →
↑
200.56 m
↓
↑
200.56 m
↓
S 48.949563°
W 16.144409°		 ← 200.58 m →
40 229 m²		 S 48.949563°
W 16.141663°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59658 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86030 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455158233642578 y=0.656360626220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455158233642578 × 217)
    floor (0.455158233642578 × 131072)
    floor (59658.5)     		tx = 59658
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656360626220703 × 217)
    floor (0.656360626220703 × 131072)
    floor (86030.5)     		ty = 86030
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59658 / 86030 ti = "17/59658/86030"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59658/86030.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59658 ÷ 217
    59658 ÷ 131072     		x = 0.455154418945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86030 ÷ 217
    86030 ÷ 131072     		y = 0.656356811523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455154418945312 × 2 - 1) × π
    -0.089691162109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28177310
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656356811523438 × 2 - 1) × π
    -0.312713623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.982418820813431
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28177310} λ = -0.28177310}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.982418820813431))-π/2
    2×atan(0.374404385584522)-π/2
    2×0.358248385543833-π/2
    0.716496771087665-1.57079632675     		φ = -0.85429956
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28177310} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.144409°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85429956 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.947759°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59658 KachelY 86030 -0.28177310 -0.85429956 -16.144409 -48.947759
    Oben rechts KachelX + 1 59659 KachelY 86030 -0.28172516 -0.85429956 -16.141663 -48.947759
    Unten links KachelX 59658 KachelY + 1 86031 -0.28177310 -0.85433104 -16.144409 -48.949563
    Unten rechts KachelX + 1 59659 KachelY + 1 86031 -0.28172516 -0.85433104 -16.141663 -48.949563
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85429956--0.85433104) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dl = 200.559080000533m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85429956--0.85433104) × R
    3.14800000000837e-05 × 6371000     		dr = 200.559080000533m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28177310--0.28172516) × cos(-0.85429956) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.656746880372372 × 6371000     		do = 200.587401930524m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28177310--0.28172516) × cos(-0.85433104) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.656723140629868 × 6371000     		du = 200.580151202102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85429956)-sin(-0.85433104))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.656746880372372-0.656723140629868)×R²
    abs(-0.28172516--0.28177310)×2.37397425046915e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37397425046915e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37397425046915e-05×40589641000000     		ar = 40228.8976944745m²