Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59657 / 86008
↖ ↑ ↗
← S 48.908060°
W 16.147156°		 ← 200.71 m → S 48.908060°
W 16.144409°		 →
↑
200.69 m
↓
↑
200.69 m
↓
S 48.909864°
W 16.147156°		 ← 200.70 m →
40 278 m²		 S 48.909864°
W 16.144409°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455150604248047 y=0.656192779541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455150604248047 × 217)
    floor (0.455150604248047 × 131072)
    floor (59657.5)     		tx = 59657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656192779541016 × 217)
    floor (0.656192779541016 × 131072)
    floor (86008.5)     		ty = 86008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59657 / 86008 ti = "17/59657/86008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59657/86008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59657 ÷ 217
    59657 ÷ 131072     		x = 0.455146789550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86008 ÷ 217
    86008 ÷ 131072     		y = 0.65618896484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455146789550781 × 2 - 1) × π
    -0.0897064208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28182103
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.65618896484375 × 2 - 1) × π
    -0.3123779296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.98136420902179
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28182103} λ = -0.28182103}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98136420902179))-π/2
    2×atan(0.374799445145022)-π/2
    2×0.358594829764239-π/2
    0.717189659528478-1.57079632675     		φ = -0.85360667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28182103} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.147156°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85360667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.908060°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59657 KachelY 86008 -0.28182103 -0.85360667 -16.147156 -48.908060
    Oben rechts KachelX + 1 59658 KachelY 86008 -0.28177310 -0.85360667 -16.144409 -48.908060
    Unten links KachelX 59657 KachelY + 1 86009 -0.28182103 -0.85363817 -16.147156 -48.909864
    Unten rechts KachelX + 1 59658 KachelY + 1 86009 -0.28177310 -0.85363817 -16.144409 -48.909864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85360667--0.85363817) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dl = 200.686499999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85360667--0.85363817) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dr = 200.686499999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28182103--0.28177310) × cos(-0.85360667) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.657269238712331 × 6371000     		do = 200.705068989642m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28182103--0.28177310) × cos(-0.85363817) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.657245498226813 × 6371000     		du = 200.697819546791m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85360667)-sin(-0.85363817))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657269238712331-0.657245498226813)×R²
    abs(-0.28177310--0.28182103)×2.37404855175649e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37404855175649e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37404855175649e-05×40589641000000     		ar = 40278.0703984289m²