Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59657 / 58567
↖ ↑ ↗
← S 80.363434°
E147.705689°		 ← 102.24 m → S 80.363434°
E147.711182°		 →
↑
102.25 m
↓
↑
102.25 m
↓
S 80.364354°
E147.705689°		 ← 102.23 m →
10 454 m²		 S 80.364354°
E147.711182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59657 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910301208496094 y=0.893669128417969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910301208496094 × 216)
    floor (0.910301208496094 × 65536)
    floor (59657.5)     		tx = 59657
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893669128417969 × 216)
    floor (0.893669128417969 × 65536)
    floor (58567.5)     		ty = 58567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59657 / 58567 ti = "16/59657/58567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59657/58567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59657 ÷ 216
    59657 ÷ 65536     		x = 0.910293579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58567 ÷ 216
    58567 ÷ 65536     		y = 0.893661499023438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910293579101562 × 2 - 1) × π
    0.820587158203125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57795059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.893661499023438 × 2 - 1) × π
    -0.787322998046875 × 3.1415926535     		Φ = -2.47344814659566
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57795059} λ = 2.57795059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47344814659566))-π/2
    2×atan(0.0842937002754223)-π/2
    2×0.0840948995248922-π/2
    0.168189799049784-1.57079632675     		φ = -1.40260653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57795059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.705689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40260653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.363434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59657 KachelY 58567 2.57795059 -1.40260653 147.705689 -80.363434
    Oben rechts KachelX + 1 59658 KachelY 58567 2.57804646 -1.40260653 147.711182 -80.363434
    Unten links KachelX 59657 KachelY + 1 58568 2.57795059 -1.40262258 147.705689 -80.364354
    Unten rechts KachelX + 1 59658 KachelY + 1 58568 2.57804646 -1.40262258 147.711182 -80.364354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40260653--1.40262258) × R
    1.60500000001562e-05 × 6371000     		dl = 102.254550000995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40260653--1.40262258) × R
    1.60500000001562e-05 × 6371000     		dr = 102.254550000995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57795059-2.57804646) × cos(-1.40260653) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167397964146107 × 6371000     		do = 102.244629223338m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57795059-2.57804646) × cos(-1.40262258) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.167382140599574 × 6371000     		du = 102.234964394638m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40260653)-sin(-1.40262258))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167397964146107-0.167382140599574)×R²
    abs(2.57804646-2.57795059)×1.58235465328449e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.58235465328449e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.58235465328449e-05×40589641000000     		ar = 10454.4844150155m²