Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59656 / 58568
↖ ↑ ↗
← S 80.364354°
E147.700195°		 ← 102.25 m → S 80.364354°
E147.705689°		 →
↑
102.19 m
↓
↑
102.19 m
↓
S 80.365273°
E147.700195°		 ← 102.24 m →
10 448 m²		 S 80.365273°
E147.705689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910285949707031 y=0.893684387207031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910285949707031 × 216)
    floor (0.910285949707031 × 65536)
    floor (59656.5)     		tx = 59656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.893684387207031 × 216)
    floor (0.893684387207031 × 65536)
    floor (58568.5)     		ty = 58568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59656 / 58568 ti = "16/59656/58568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59656/58568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59656 ÷ 216
    59656 ÷ 65536     		x = 0.9102783203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58568 ÷ 216
    58568 ÷ 65536     		y = 0.8936767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9102783203125 × 2 - 1) × π
    0.820556640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57785471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8936767578125 × 2 - 1) × π
    -0.787353515625 × 3.1415926535     		Φ = -2.4735440203949
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57785471} λ = 2.57785471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4735440203949))-π/2
    2×atan(0.0842856191055173)-π/2
    2×0.0840868753646138-π/2
    0.168173750729228-1.57079632675     		φ = -1.40262258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57785471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.700195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40262258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.364354°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59656 KachelY 58568 2.57785471 -1.40262258 147.700195 -80.364354
    Oben rechts KachelX + 1 59657 KachelY 58568 2.57795059 -1.40262258 147.705689 -80.364354
    Unten links KachelX 59656 KachelY + 1 58569 2.57785471 -1.40263862 147.700195 -80.365273
    Unten rechts KachelX + 1 59657 KachelY + 1 58569 2.57795059 -1.40263862 147.705689 -80.365273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40262258--1.40263862) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dl = 102.190839999968m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40262258--1.40263862) × R
    1.60399999999949e-05 × 6371000     		dr = 102.190839999968m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57785471-2.57795059) × cos(-1.40262258) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.167382140599574 × 6371000     		do = 102.245628310751m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57785471-2.57795059) × cos(-1.40263862) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.167366326868871 × 6371000     		du = 102.235968469947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40262258)-sin(-1.40263862))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167382140599574-0.167366326868871)×R²
    abs(2.57795059-2.57785471)×1.5813730702946e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.5813730702946e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.5813730702946e-05×40589641000000     		ar = 10448.0730703879m²