Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59656 / 35577
↖ ↑ ↗
← N 63.242284°
W 16.149902°		 ← 137.51 m → N 63.242284°
W 16.147156°		 →
↑
137.49 m
↓
↑
137.49 m
↓
N 63.241048°
W 16.149902°		 ← 137.51 m →
18 906 m²		 N 63.241048°
W 16.147156°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59656 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35577 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455142974853516 y=0.271434783935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455142974853516 × 217)
    floor (0.455142974853516 × 131072)
    floor (59656.5)     		tx = 59656
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271434783935547 × 217)
    floor (0.271434783935547 × 131072)
    floor (35577.5)     		ty = 35577
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59656 / 35577 ti = "17/59656/35577"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59656/35577.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59656 ÷ 217
    59656 ÷ 131072     		x = 0.45513916015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35577 ÷ 217
    35577 ÷ 131072     		y = 0.271430969238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.45513916015625 × 2 - 1) × π
    -0.0897216796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28186897
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271430969238281 × 2 - 1) × π
    0.457138061523438 × 3.1415926535     		Φ = 1.43614157571726
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28186897} λ = -0.28186897}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43614157571726))-π/2
    2×atan(4.20444195907111)-π/2
    2×1.33729121017526-π/2
    2.67458242035052-1.57079632675     		φ = 1.10378609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28186897} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.149902°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10378609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.242284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59656 KachelY 35577 -0.28186897 1.10378609 -16.149902 63.242284
    Oben rechts KachelX + 1 59657 KachelY 35577 -0.28182103 1.10378609 -16.147156 63.242284
    Unten links KachelX 59656 KachelY + 1 35578 -0.28186897 1.10376451 -16.149902 63.241048
    Unten rechts KachelX + 1 59657 KachelY + 1 35578 -0.28182103 1.10376451 -16.147156 63.241048
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10378609-1.10376451) × R
    2.15800000000765e-05 × 6371000     		dl = 137.486180000488m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10378609-1.10376451) × R
    2.15800000000765e-05 × 6371000     		dr = 137.486180000488m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28186897--0.28182103) × cos(1.10378609) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450218687185116 × 6371000     		do = 137.508375695412m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28186897--0.28182103) × cos(1.10376451) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450237956257718 × 6371000     		du = 137.51426096617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10378609)-sin(1.10376451))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450218687185116-0.450237956257718)×R²
    abs(-0.28182103--0.28186897)×1.92690726024125e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92690726024125e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92690726024125e-05×40589641000000     		ar = 18905.905864806m²