Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59655 / 58649
↖ ↑ ↗
← S 80.438545°
E147.694702°		 ← 101.46 m → S 80.438545°
E147.700195°		 →
↑
101.49 m
↓
↑
101.49 m
↓
S 80.439458°
E147.694702°		 ← 101.45 m →
10 296 m²		 S 80.439458°
E147.700195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58649 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910270690917969 y=0.894920349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910270690917969 × 216)
    floor (0.910270690917969 × 65536)
    floor (59655.5)     		tx = 59655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894920349121094 × 216)
    floor (0.894920349121094 × 65536)
    floor (58649.5)     		ty = 58649
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59655 / 58649 ti = "16/59655/58649"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59655/58649.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59655 ÷ 216
    59655 ÷ 65536     		x = 0.910263061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58649 ÷ 216
    58649 ÷ 65536     		y = 0.894912719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910263061523438 × 2 - 1) × π
    0.820526123046875 × 3.1415926535     		Λ = 2.57775884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894912719726562 × 2 - 1) × π
    -0.789825439453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.48130979813335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57775884} λ = 2.57775884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48130979813335))-π/2
    2×atan(0.0836336106740135)-π/2
    2×0.0834394309316639-π/2
    0.166878861863328-1.57079632675     		φ = -1.40391746
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57775884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.694702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40391746 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.438545°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59655 KachelY 58649 2.57775884 -1.40391746 147.694702 -80.438545
    Oben rechts KachelX + 1 59656 KachelY 58649 2.57785471 -1.40391746 147.700195 -80.438545
    Unten links KachelX 59655 KachelY + 1 58650 2.57775884 -1.40393339 147.694702 -80.439458
    Unten rechts KachelX + 1 59656 KachelY + 1 58650 2.57785471 -1.40393339 147.700195 -80.439458
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40391746--1.40393339) × R
    1.59299999999973e-05 × 6371000     		dl = 101.490029999983m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40391746--1.40393339) × R
    1.59299999999973e-05 × 6371000     		dr = 101.490029999983m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57775884-2.57785471) × cos(-1.40391746) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166105388676976 × 6371000     		do = 101.455139934991m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57775884-2.57785471) × cos(-1.40393339) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166089679955362 × 6371000     		du = 101.445545239947m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40391746)-sin(-1.40393339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166105388676976-0.166089679955362)×R²
    abs(2.57785471-2.57775884)×1.57087216136331e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.57087216136331e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.57087216136331e-05×40589641000000     		ar = 10296.1983127993m²