Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59655 / 35576
↖ ↑ ↗
← N 63.243521°
W 16.152649°		 ← 137.50 m → N 63.243521°
W 16.149902°		 →
↑
137.55 m
↓
↑
137.55 m
↓
N 63.242284°
W 16.152649°		 ← 137.51 m →
18 914 m²		 N 63.242284°
W 16.149902°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59655 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35576 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455135345458984 y=0.271427154541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455135345458984 × 217)
    floor (0.455135345458984 × 131072)
    floor (59655.5)     		tx = 59655
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271427154541016 × 217)
    floor (0.271427154541016 × 131072)
    floor (35576.5)     		ty = 35576
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59655 / 35576 ti = "17/59655/35576"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59655/35576.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59655 ÷ 217
    59655 ÷ 131072     		x = 0.455131530761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35576 ÷ 217
    35576 ÷ 131072     		y = 0.27142333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455131530761719 × 2 - 1) × π
    -0.0897369384765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28191691
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27142333984375 × 2 - 1) × π
    0.4571533203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43618951261688
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28191691} λ = -0.28191691}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43618951261688))-π/2
    2×atan(4.20464351181413)-π/2
    2×1.33730200098824-π/2
    2.67460400197649-1.57079632675     		φ = 1.10380768
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28191691} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.152649°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10380768 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.243521°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59655 KachelY 35576 -0.28191691 1.10380768 -16.152649 63.243521
    Oben rechts KachelX + 1 59656 KachelY 35576 -0.28186897 1.10380768 -16.149902 63.243521
    Unten links KachelX 59655 KachelY + 1 35577 -0.28191691 1.10378609 -16.152649 63.242284
    Unten rechts KachelX + 1 59656 KachelY + 1 35577 -0.28186897 1.10378609 -16.149902 63.242284
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10380768-1.10378609) × R
    2.15900000000158e-05 × 6371000     		dl = 137.5498900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10380768-1.10378609) × R
    2.15900000000158e-05 × 6371000     		dr = 137.5498900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28191691--0.28186897) × cos(1.10380768) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450199408973568 × 6371000     		do = 137.502487633384m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28191691--0.28186897) × cos(1.10378609) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450218687185116 × 6371000     		du = 137.508375695412m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10380768)-sin(1.10378609))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450199408973568-0.450218687185116)×R²
    abs(-0.28186897--0.28191691)×1.92782115479573e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92782115479573e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92782115479573e-05×40589641000000     		ar = 18913.8570006019m²