Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59654 / 86010
↖ ↑ ↗
← S 48.911670°
W 16.155395°		 ← 200.69 m → S 48.911670°
W 16.152649°		 →
↑
200.69 m
↓
↑
200.69 m
↓
S 48.913475°
W 16.155395°		 ← 200.68 m →
40 275 m²		 S 48.913475°
W 16.152649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86010 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455127716064453 y=0.656208038330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455127716064453 × 217)
    floor (0.455127716064453 × 131072)
    floor (59654.5)     		tx = 59654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656208038330078 × 217)
    floor (0.656208038330078 × 131072)
    floor (86010.5)     		ty = 86010
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59654 / 86010 ti = "17/59654/86010"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59654/86010.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59654 ÷ 217
    59654 ÷ 131072     		x = 0.455123901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86010 ÷ 217
    86010 ÷ 131072     		y = 0.656204223632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455123901367188 × 2 - 1) × π
    -0.089752197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28196484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656204223632812 × 2 - 1) × π
    -0.312408447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.98146008282103
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28196484} λ = -0.28196484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.98146008282103))-π/2
    2×atan(0.374763513420745)-π/2
    2×0.358563323452913-π/2
    0.717126646905826-1.57079632675     		φ = -0.85366968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28196484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.155395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85366968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.911670°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59654 KachelY 86010 -0.28196484 -0.85366968 -16.155395 -48.911670
    Oben rechts KachelX + 1 59655 KachelY 86010 -0.28191691 -0.85366968 -16.152649 -48.911670
    Unten links KachelX 59654 KachelY + 1 86011 -0.28196484 -0.85370118 -16.155395 -48.913475
    Unten rechts KachelX + 1 59655 KachelY + 1 86011 -0.28191691 -0.85370118 -16.152649 -48.913475
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85366968--0.85370118) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dl = 200.686499999759m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85366968--0.85370118) × R
    3.14999999999621e-05 × 6371000     		dr = 200.686499999759m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28196484--0.28191691) × cos(-0.85366968) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.657221749552171 × 6371000     		do = 200.690567603293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28196484--0.28191691) × cos(-0.85370118) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.657198007762166 × 6371000     		du = 200.683317762101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85366968)-sin(-0.85370118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657221749552171-0.657198007762166)×R²
    abs(-0.28191691--0.28196484)×2.37417900048609e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.37417900048609e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.37417900048609e-05×40589641000000     		ar = 40275.1601258549m²