Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59654 / 35672
↖ ↑ ↗
← N 63.124572°
W 16.155395°		 ← 138.04 m → N 63.124572°
W 16.152649°		 →
↑
138.06 m
↓
↑
138.06 m
↓
N 63.123330°
W 16.155395°		 ← 138.05 m →
19 058 m²		 N 63.123330°
W 16.152649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35672 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455127716064453 y=0.272159576416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455127716064453 × 217)
    floor (0.455127716064453 × 131072)
    floor (59654.5)     		tx = 59654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272159576416016 × 217)
    floor (0.272159576416016 × 131072)
    floor (35672.5)     		ty = 35672
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59654 / 35672 ti = "17/59654/35672"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59654/35672.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59654 ÷ 217
    59654 ÷ 131072     		x = 0.455123901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35672 ÷ 217
    35672 ÷ 131072     		y = 0.27215576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455123901367188 × 2 - 1) × π
    -0.089752197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28196484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27215576171875 × 2 - 1) × π
    0.4556884765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.43158757025336
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28196484} λ = -0.28196484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43158757025336))-π/2
    2×atan(4.18533843919936)-π/2
    2×1.33626397458544-π/2
    2.67252794917087-1.57079632675     		φ = 1.10173162
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28196484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.155395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10173162 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.124572°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59654 KachelY 35672 -0.28196484 1.10173162 -16.155395 63.124572
    Oben rechts KachelX + 1 59655 KachelY 35672 -0.28191691 1.10173162 -16.152649 63.124572
    Unten links KachelX 59654 KachelY + 1 35673 -0.28196484 1.10170995 -16.155395 63.123330
    Unten rechts KachelX + 1 59655 KachelY + 1 35673 -0.28191691 1.10170995 -16.152649 63.123330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10173162-1.10170995) × R
    2.16699999999737e-05 × 6371000     		dl = 138.059569999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10173162-1.10170995) × R
    2.16699999999737e-05 × 6371000     		dr = 138.059569999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28196484--0.28191691) × cos(1.10173162) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.45205220965239 × 6371000     		do = 138.039580405364m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28196484--0.28191691) × cos(1.10170995) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.452071539001613 × 6371000     		du = 138.045482854681m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10173162)-sin(1.10170995))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.45205220965239-0.452071539001613)×R²
    abs(-0.28191691--0.28196484)×1.93293492228852e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.93293492228852e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.93293492228852e-05×40589641000000     		ar = 19058.0925591608m²