Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59654 / 35670
↖ ↑ ↗
← N 63.127055°
W 16.155395°		 ← 138.03 m → N 63.127055°
W 16.152649°		 →
↑
138.06 m
↓
↑
138.06 m
↓
N 63.125814°
W 16.155395°		 ← 138.03 m →
19 056 m²		 N 63.125814°
W 16.152649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59654 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35670 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455127716064453 y=0.272144317626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455127716064453 × 217)
    floor (0.455127716064453 × 131072)
    floor (59654.5)     		tx = 59654
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272144317626953 × 217)
    floor (0.272144317626953 × 131072)
    floor (35670.5)     		ty = 35670
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59654 / 35670 ti = "17/59654/35670"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59654/35670.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59654 ÷ 217
    59654 ÷ 131072     		x = 0.455123901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35670 ÷ 217
    35670 ÷ 131072     		y = 0.272140502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455123901367188 × 2 - 1) × π
    -0.089752197265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28196484
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272140502929688 × 2 - 1) × π
    0.455718994140625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4316834440526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28196484} λ = -0.28196484}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4316834440526))-π/2
    2×atan(4.18573972273261)-π/2
    2×1.33628564364016-π/2
    2.67257128728032-1.57079632675     		φ = 1.10177496
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28196484} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.155395°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10177496 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.127055°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59654 KachelY 35670 -0.28196484 1.10177496 -16.155395 63.127055
    Oben rechts KachelX + 1 59655 KachelY 35670 -0.28191691 1.10177496 -16.152649 63.127055
    Unten links KachelX 59654 KachelY + 1 35671 -0.28196484 1.10175329 -16.155395 63.125814
    Unten rechts KachelX + 1 59655 KachelY + 1 35671 -0.28191691 1.10175329 -16.152649 63.125814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10177496-1.10175329) × R
    2.16699999999737e-05 × 6371000     		dl = 138.059569999832m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10177496-1.10175329) × R
    2.16699999999737e-05 × 6371000     		dr = 138.059569999832m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28196484--0.28191691) × cos(1.10177496) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.452013550317118 × 6371000     		do = 138.027775312267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28196484--0.28191691) × cos(1.10175329) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.452032880090889 × 6371000     		du = 138.033677891225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10177496)-sin(1.10175329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452013550317118-0.452032880090889)×R²
    abs(-0.28191691--0.28196484)×1.93297737712261e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.93297737712261e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.93297737712261e-05×40589641000000     		ar = 19056.4627622242m²