Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59651 / 58669
↖ ↑ ↗
← S 80.456777°
E147.672729°		 ← 101.27 m → S 80.456777°
E147.678223°		 →
↑
101.24 m
↓
↑
101.24 m
↓
S 80.457688°
E147.672729°		 ← 101.26 m →
10 252 m²		 S 80.457688°
E147.678223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58669 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910209655761719 y=0.895225524902344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910209655761719 × 216)
    floor (0.910209655761719 × 65536)
    floor (59651.5)     		tx = 59651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.895225524902344 × 216)
    floor (0.895225524902344 × 65536)
    floor (58669.5)     		ty = 58669
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59651 / 58669 ti = "16/59651/58669"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59651/58669.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59651 ÷ 216
    59651 ÷ 65536     		x = 0.910202026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58669 ÷ 216
    58669 ÷ 65536     		y = 0.895217895507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910202026367188 × 2 - 1) × π
    0.820404052734375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57737534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.895217895507812 × 2 - 1) × π
    -0.790435791015625 × 3.1415926535     		Φ = -2.48322727411815
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57737534} λ = 2.57737534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.48322727411815))-π/2
    2×atan(0.0834733988842412)-π/2
    2×0.0832803298567629-π/2
    0.166560659713526-1.57079632675     		φ = -1.40423567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57737534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.672729°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40423567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.456777°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59651 KachelY 58669 2.57737534 -1.40423567 147.672729 -80.456777
    Oben rechts KachelX + 1 59652 KachelY 58669 2.57747122 -1.40423567 147.678223 -80.456777
    Unten links KachelX 59651 KachelY + 1 58670 2.57737534 -1.40425156 147.672729 -80.457688
    Unten rechts KachelX + 1 59652 KachelY + 1 58670 2.57747122 -1.40425156 147.678223 -80.457688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40423567--1.40425156) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dl = 101.235190000117m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40423567--1.40425156) × R
    1.58900000000184e-05 × 6371000     		dr = 101.235190000117m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57737534-2.57747122) × cos(-1.40423567) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.165791590843908 × 6371000     		do = 101.274038638489m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57737534-2.57747122) × cos(-1.40425156) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.165775920727665 × 6371000     		du = 101.26446652479m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40423567)-sin(-1.40425156))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.165791590843908-0.165775920727665)×R²
    abs(2.57747122-2.57737534)×1.56701162428718e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.56701162428718e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.56701162428718e-05×40589641000000     		ar = 10252.0120268572m²