Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59651 / 35579
↖ ↑ ↗
← N 63.239812°
W 16.163635°		 ← 137.49 m → N 63.239812°
W 16.160889°		 →
↑
137.55 m
↓
↑
137.55 m
↓
N 63.238575°
W 16.163635°		 ← 137.50 m →
18 912 m²		 N 63.238575°
W 16.160889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59651 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35579 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455104827880859 y=0.271450042724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455104827880859 × 217)
    floor (0.455104827880859 × 131072)
    floor (59651.5)     		tx = 59651
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271450042724609 × 217)
    floor (0.271450042724609 × 131072)
    floor (35579.5)     		ty = 35579
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59651 / 35579 ti = "17/59651/35579"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59651/35579.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59651 ÷ 217
    59651 ÷ 131072     		x = 0.455101013183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35579 ÷ 217
    35579 ÷ 131072     		y = 0.271446228027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455101013183594 × 2 - 1) × π
    -0.0897979736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.28210865
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271446228027344 × 2 - 1) × π
    0.457107543945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.43604570191802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28210865} λ = -0.28210865}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43604570191802))-π/2
    2×atan(4.20403888256936)-π/2
    2×1.33726962716358-π/2
    2.67453925432716-1.57079632675     		φ = 1.10374293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28210865} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.163635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10374293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.239812°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59651 KachelY 35579 -0.28210865 1.10374293 -16.163635 63.239812
    Oben rechts KachelX + 1 59652 KachelY 35579 -0.28206072 1.10374293 -16.160889 63.239812
    Unten links KachelX 59651 KachelY + 1 35580 -0.28210865 1.10372134 -16.163635 63.238575
    Unten rechts KachelX + 1 59652 KachelY + 1 35580 -0.28206072 1.10372134 -16.160889 63.238575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10374293-1.10372134) × R
    2.15899999997937e-05 × 6371000     		dl = 137.549889998686m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10374293-1.10372134) × R
    2.15899999997937e-05 × 6371000     		dr = 137.549889998686m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28210865--0.28206072) × cos(1.10374293) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.450257225120647 × 6371000     		do = 137.491460285092m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28210865--0.28206072) × cos(1.10372134) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.450276502702783 × 6371000     		du = 137.497346926706m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10374293)-sin(1.10372134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450257225120647-0.450276502702783)×R²
    abs(-0.28206072--0.28210865)×1.92775821364899e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.92775821364899e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.92775821364899e-05×40589641000000     		ar = 18912.3400921926m²