Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59650 / 35702
↖ ↑ ↗
← N 63.087301°
W 16.166382°		 ← 138.25 m → N 63.087301°
W 16.163635°		 →
↑
138.25 m
↓
↑
138.25 m
↓
N 63.086057°
W 16.166382°		 ← 138.25 m →
19 113 m²		 N 63.086057°
W 16.163635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59650 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35702 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455097198486328 y=0.272388458251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455097198486328 × 217)
    floor (0.455097198486328 × 131072)
    floor (59650.5)     		tx = 59650
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272388458251953 × 217)
    floor (0.272388458251953 × 131072)
    floor (35702.5)     		ty = 35702
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59650 / 35702 ti = "17/59650/35702"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59650/35702.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59650 ÷ 217
    59650 ÷ 131072     		x = 0.455093383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35702 ÷ 217
    35702 ÷ 131072     		y = 0.272384643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455093383789062 × 2 - 1) × π
    -0.089813232421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28215659
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272384643554688 × 2 - 1) × π
    0.455230712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.43014946326476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28215659} λ = -0.28215659}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43014946326476))-π/2
    2×atan(4.17932380062377)-π/2
    2×1.33593871631625-π/2
    2.67187743263251-1.57079632675     		φ = 1.10108111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28215659} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.166382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10108111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.087301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59650 KachelY 35702 -0.28215659 1.10108111 -16.166382 63.087301
    Oben rechts KachelX + 1 59651 KachelY 35702 -0.28210865 1.10108111 -16.163635 63.087301
    Unten links KachelX 59650 KachelY + 1 35703 -0.28215659 1.10105941 -16.166382 63.086057
    Unten rechts KachelX + 1 59651 KachelY + 1 35703 -0.28210865 1.10105941 -16.163635 63.086057
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10108111-1.10105941) × R
    2.17000000000134e-05 × 6371000     		dl = 138.250700000085m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10108111-1.10105941) × R
    2.17000000000134e-05 × 6371000     		dr = 138.250700000085m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28215659--0.28210865) × cos(1.10108111) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.452632363342947 × 6371000     		do = 138.245574521878m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28215659--0.28210865) × cos(1.10105941) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.452651713066189 × 6371000     		du = 138.251484425418m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10108111)-sin(1.10105941))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.452632363342947-0.452651713066189)×R²
    abs(-0.28210865--0.28215659)×1.93497232424122e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.93497232424122e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.93497232424122e-05×40589641000000     		ar = 19112.9559745191m²