Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59649 / 35582
↖ ↑ ↗
← N 63.236101°
W 16.169129°		 ← 137.54 m → N 63.236101°
W 16.166382°		 →
↑
137.55 m
↓
↑
137.55 m
↓
N 63.234864°
W 16.169129°		 ← 137.54 m →
18 919 m²		 N 63.234864°
W 16.166382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59649 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455089569091797 y=0.271472930908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455089569091797 × 217)
    floor (0.455089569091797 × 131072)
    floor (59649.5)     		tx = 59649
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.271472930908203 × 217)
    floor (0.271472930908203 × 131072)
    floor (35582.5)     		ty = 35582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59649 / 35582 ti = "17/59649/35582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59649/35582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59649 ÷ 217
    59649 ÷ 131072     		x = 0.455085754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35582 ÷ 217
    35582 ÷ 131072     		y = 0.271469116210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455085754394531 × 2 - 1) × π
    -0.0898284912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.28220453
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.271469116210938 × 2 - 1) × π
    0.457061767578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.43590189121916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28220453} λ = -0.28220453}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.43590189121916))-π/2
    2×atan(4.20343434027049)-π/2
    2×1.33723724918158-π/2
    2.67447449836316-1.57079632675     		φ = 1.10367817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28220453} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.169129°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10367817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.236101°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59649 KachelY 35582 -0.28220453 1.10367817 -16.169129 63.236101
    Oben rechts KachelX + 1 59650 KachelY 35582 -0.28215659 1.10367817 -16.166382 63.236101
    Unten links KachelX 59649 KachelY + 1 35583 -0.28220453 1.10365658 -16.169129 63.234864
    Unten rechts KachelX + 1 59650 KachelY + 1 35583 -0.28215659 1.10365658 -16.166382 63.234864
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10367817-1.10365658) × R
    2.15900000000158e-05 × 6371000     		dl = 137.5498900001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10367817-1.10365658) × R
    2.15900000000158e-05 × 6371000     		dr = 137.5498900001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28220453--0.28215659) × cos(1.10367817) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450315048308691 × 6371000     		do = 137.537806862887m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28220453--0.28215659) × cos(1.10365658) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.450334325261238 × 6371000     		du = 137.543694540383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10367817)-sin(1.10365658))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.450315048308691-0.450334325261238)×R²
    abs(-0.28215659--0.28220453)×1.92769525473868e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.92769525473868e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.92769525473868e-05×40589641000000     		ar = 18918.7151301085m²