Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 59647 / 85285
↖ ↑ ↗
← S 47.585789°
W 16.174621°		 ← 206.01 m → S 47.585789°
W 16.171875°		 →
↑
205.97 m
↓
↑
205.97 m
↓
S 47.587642°
W 16.174621°		 ← 206 m →
42 431 m²		 S 47.587642°
W 16.171875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59647 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455074310302734 y=0.650676727294922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455074310302734 × 217)
    floor (0.455074310302734 × 131072)
    floor (59647.5)     		tx = 59647
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.650676727294922 × 217)
    floor (0.650676727294922 × 131072)
    floor (85285.5)     		ty = 85285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59647 / 85285 ti = "17/59647/85285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59647/85285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59647 ÷ 217
    59647 ÷ 131072     		x = 0.455070495605469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85285 ÷ 217
    85285 ÷ 131072     		y = 0.650672912597656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455070495605469 × 2 - 1) × π
    -0.0898590087890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28230040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.650672912597656 × 2 - 1) × π
    -0.301345825195312 × 3.1415926535     		Φ = -0.946705830596489
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28230040} λ = -0.28230040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.946705830596489))-π/2
    2×atan(0.38801711457725)-π/2
    2×0.370133814210359-π/2
    0.740267628420718-1.57079632675     		φ = -0.83052870
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28230040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.174621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83052870 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.585789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59647 KachelY 85285 -0.28230040 -0.83052870 -16.174621 -47.585789
    Oben rechts KachelX + 1 59648 KachelY 85285 -0.28225246 -0.83052870 -16.171875 -47.585789
    Unten links KachelX 59647 KachelY + 1 85286 -0.28230040 -0.83056103 -16.174621 -47.587642
    Unten rechts KachelX + 1 59648 KachelY + 1 85286 -0.28225246 -0.83056103 -16.171875 -47.587642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83052870--0.83056103) × R
    3.23300000000248e-05 × 6371000     		dl = 205.974430000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83052870--0.83056103) × R
    3.23300000000248e-05 × 6371000     		dr = 205.974430000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28230040--0.28225246) × cos(-0.83052870) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.674485521451658 × 6371000     		do = 206.005239508762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28230040--0.28225246) × cos(-0.83056103) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.674461652245709 × 6371000     		du = 205.997949238872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83052870)-sin(-0.83056103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.674485521451658-0.674461652245709)×R²
    abs(-0.28225246--0.28230040)×2.38692059492118e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.38692059492118e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.38692059492118e-05×40589641000000     		ar = 42431.0609838899m²