Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59641 / 58630
↖ ↑ ↗
← S 80.421194°
E147.617798°		 ← 101.64 m → S 80.421194°
E147.623291°		 →
↑
101.62 m
↓
↑
101.62 m
↓
S 80.422108°
E147.617798°		 ← 101.63 m →
10 328 m²		 S 80.422108°
E147.623291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59641 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910057067871094 y=0.894630432128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910057067871094 × 216)
    floor (0.910057067871094 × 65536)
    floor (59641.5)     		tx = 59641
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894630432128906 × 216)
    floor (0.894630432128906 × 65536)
    floor (58630.5)     		ty = 58630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59641 / 58630 ti = "16/59641/58630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59641/58630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59641 ÷ 216
    59641 ÷ 65536     		x = 0.910049438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58630 ÷ 216
    58630 ÷ 65536     		y = 0.894622802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910049438476562 × 2 - 1) × π
    0.820098876953125 × 3.1415926535     		Λ = 2.57641661
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894622802734375 × 2 - 1) × π
    -0.78924560546875 × 3.1415926535     		Φ = -2.47948819594778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57641661} λ = 2.57641661}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47948819594778))-π/2
    2×atan(0.0837860966842631)-π/2
    2×0.0835908558557608-π/2
    0.167181711711522-1.57079632675     		φ = -1.40361462
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57641661} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.617798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40361462 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.421194°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59641 KachelY 58630 2.57641661 -1.40361462 147.617798 -80.421194
    Oben rechts KachelX + 1 59642 KachelY 58630 2.57651248 -1.40361462 147.623291 -80.421194
    Unten links KachelX 59641 KachelY + 1 58631 2.57641661 -1.40363057 147.617798 -80.422108
    Unten rechts KachelX + 1 59642 KachelY + 1 58631 2.57651248 -1.40363057 147.623291 -80.422108
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40361462--1.40363057) × R
    1.59500000000978e-05 × 6371000     		dl = 101.617450000623m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40361462--1.40363057) × R
    1.59500000000978e-05 × 6371000     		dr = 101.617450000623m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57641661-2.57651248) × cos(-1.40361462) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166404014004068 × 6371000     		do = 101.637536632592m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57641661-2.57651248) × cos(-1.40363057) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166388286363263 × 6371000     		du = 101.627930381937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40361462)-sin(-1.40363057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166404014004068-0.166388286363263)×R²
    abs(2.57651248-2.57641661)×1.57276408050411e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.57276408050411e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.57276408050411e-05×40589641000000     		ar = 10327.6592160471m²