Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 59640 / 58616
↖ ↑ ↗
← S 80.408388°
E147.612305°		 ← 101.78 m → S 80.408388°
E147.617798°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
S 80.409303°
E147.612305°		 ← 101.77 m →
10 362 m²		 S 80.409303°
E147.617798°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59640 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910041809082031 y=0.894416809082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910041809082031 × 216)
    floor (0.910041809082031 × 65536)
    floor (59640.5)     		tx = 59640
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894416809082031 × 216)
    floor (0.894416809082031 × 65536)
    floor (58616.5)     		ty = 58616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59640 / 58616 ti = "16/59640/58616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59640/58616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59640 ÷ 216
    59640 ÷ 65536     		x = 0.9100341796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58616 ÷ 216
    58616 ÷ 65536     		y = 0.8944091796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9100341796875 × 2 - 1) × π
    0.820068359375 × 3.1415926535     		Λ = 2.57632073
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.8944091796875 × 2 - 1) × π
    -0.788818359375 × 3.1415926535     		Φ = -2.47814596275842
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57632073} λ = 2.57632073}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47814596275842))-π/2
    2×atan(0.0838986326719133)-π/2
    2×0.0837026062889201-π/2
    0.16740521257784-1.57079632675     		φ = -1.40339111
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57632073} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.612305°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40339111 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.408388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59640 KachelY 58616 2.57632073 -1.40339111 147.612305 -80.408388
    Oben rechts KachelX + 1 59641 KachelY 58616 2.57641661 -1.40339111 147.617798 -80.408388
    Unten links KachelX 59640 KachelY + 1 58617 2.57632073 -1.40340709 147.612305 -80.409303
    Unten rechts KachelX + 1 59641 KachelY + 1 58617 2.57641661 -1.40340709 147.617798 -80.409303
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40339111--1.40340709) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dl = 101.808579999462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40339111--1.40340709) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dr = 101.808579999462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57632073-2.57641661) × cos(-1.40339111) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.166624403592785 × 6371000     		do = 101.782763538704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57632073-2.57641661) × cos(-1.40340709) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.16660864696488 × 6371000     		du = 101.773138579228m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40339111)-sin(-1.40340709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166624403592785-0.16660864696488)×R²
    abs(2.57641661-2.57632073)×1.57566279053167e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.57566279053167e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.57566279053167e-05×40589641000000     		ar = 10361.8686725112m²