Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59639 / 86281
↖ ↑ ↗
← S 49.398463°
W 16.196594°		 ← 198.77 m → S 49.398463°
W 16.193848°		 →
↑
198.71 m
↓
↑
198.71 m
↓
S 49.400250°
W 16.196594°		 ← 198.76 m →
39 497 m²		 S 49.400250°
W 16.193848°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86281 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.455013275146484 y=0.658275604248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.455013275146484 × 217)
    floor (0.455013275146484 × 131072)
    floor (59639.5)     		tx = 59639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658275604248047 × 217)
    floor (0.658275604248047 × 131072)
    floor (86281.5)     		ty = 86281
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59639 / 86281 ti = "17/59639/86281"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59639/86281.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59639 ÷ 217
    59639 ÷ 131072     		x = 0.455009460449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86281 ÷ 217
    86281 ÷ 131072     		y = 0.658271789550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.455009460449219 × 2 - 1) × π
    -0.0899810791015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.28268390
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658271789550781 × 2 - 1) × π
    -0.316543579101562 × 3.1415926535     		Φ = -0.994450982618065
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28268390} λ = -0.28268390}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994450982618065))-π/2
    2×atan(0.369926484872857)-π/2
    2×0.354315254785371-π/2
    0.708630509570741-1.57079632675     		φ = -0.86216582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28268390} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.196594°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86216582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.398463°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59639 KachelY 86281 -0.28268390 -0.86216582 -16.196594 -49.398463
    Oben rechts KachelX + 1 59640 KachelY 86281 -0.28263596 -0.86216582 -16.193848 -49.398463
    Unten links KachelX 59639 KachelY + 1 86282 -0.28268390 -0.86219701 -16.196594 -49.400250
    Unten rechts KachelX + 1 59640 KachelY + 1 86282 -0.28263596 -0.86219701 -16.193848 -49.400250
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86216582--0.86219701) × R
    3.11900000000698e-05 × 6371000     		dl = 198.711490000445m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86216582--0.86219701) × R
    3.11900000000698e-05 × 6371000     		dr = 198.711490000445m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28268390--0.28263596) × cos(-0.86216582) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.650794588649184 × 6371000     		do = 198.769418826042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28268390--0.28263596) × cos(-0.86219701) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.650770907205164 × 6371000     		du = 198.762185903478m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86216582)-sin(-0.86219701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650794588649184-0.650770907205164)×R²
    abs(-0.28263596--0.28268390)×2.368144401943e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.368144401943e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.368144401943e-05×40589641000000     		ar = 39497.0487520643m²