Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59639 / 58615
↖ ↑ ↗
← S 80.407473°
E147.606812°		 ← 101.78 m → S 80.407473°
E147.612305°		 →
↑
101.74 m
↓
↑
101.74 m
↓
S 80.408388°
E147.606812°		 ← 101.77 m →
10 355 m²		 S 80.408388°
E147.612305°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59639 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58615 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.910026550292969 y=0.894401550292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.910026550292969 × 216)
    floor (0.910026550292969 × 65536)
    floor (59639.5)     		tx = 59639
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894401550292969 × 216)
    floor (0.894401550292969 × 65536)
    floor (58615.5)     		ty = 58615
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59639 / 58615 ti = "16/59639/58615"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59639/58615.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59639 ÷ 216
    59639 ÷ 65536     		x = 0.910018920898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58615 ÷ 216
    58615 ÷ 65536     		y = 0.894393920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.910018920898438 × 2 - 1) × π
    0.820037841796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.57622486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894393920898438 × 2 - 1) × π
    -0.788787841796875 × 3.1415926535     		Φ = -2.47805008895918
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57622486} λ = 2.57622486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.47805008895918))-π/2
    2×atan(0.0839066767381801)-π/2
    2×0.0837105941235828-π/2
    0.167421188247166-1.57079632675     		φ = -1.40337514
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57622486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.606812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40337514 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.407473°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59639 KachelY 58615 2.57622486 -1.40337514 147.606812 -80.407473
    Oben rechts KachelX + 1 59640 KachelY 58615 2.57632073 -1.40337514 147.612305 -80.407473
    Unten links KachelX 59639 KachelY + 1 58616 2.57622486 -1.40339111 147.606812 -80.408388
    Unten rechts KachelX + 1 59640 KachelY + 1 58616 2.57632073 -1.40339111 147.612305 -80.408388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40337514--1.40339111) × R
    1.59699999999763e-05 × 6371000     		dl = 101.744869999849m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40337514--1.40339111) × R
    1.59699999999763e-05 × 6371000     		dr = 101.744869999849m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57622486-2.57632073) × cos(-1.40337514) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166640150317964 × 6371000     		do = 101.781765805172m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57622486-2.57632073) × cos(-1.40339111) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.166624403592785 × 6371000     		du = 101.772147898015m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40337514)-sin(-1.40339111))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166640150317964-0.166624403592785)×R²
    abs(2.57632073-2.57622486)×1.5746725178345e-05×R²
    9.58699999999979e-05×1.5746725178345e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×1.5746725178345e-05×40589641000000     		ar = 10355.2832441601m²