Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59637 / 85999
↖ ↑ ↗
← S 48.891809°
W 16.202087°		 ← 200.81 m → S 48.891809°
W 16.199341°		 →
↑
200.81 m
↓
↑
200.81 m
↓
S 48.893615°
W 16.202087°		 ← 200.80 m →
40 325 m²		 S 48.893615°
W 16.199341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85999 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454998016357422 y=0.656124114990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454998016357422 × 217)
    floor (0.454998016357422 × 131072)
    floor (59637.5)     		tx = 59637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656124114990234 × 217)
    floor (0.656124114990234 × 131072)
    floor (85999.5)     		ty = 85999
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59637 / 85999 ti = "17/59637/85999"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59637/85999.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59637 ÷ 217
    59637 ÷ 131072     		x = 0.454994201660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85999 ÷ 217
    85999 ÷ 131072     		y = 0.656120300292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454994201660156 × 2 - 1) × π
    -0.0900115966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28277977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656120300292969 × 2 - 1) × π
    -0.312240600585938 × 3.1415926535     		Φ = -0.980932776925209
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28277977} λ = -0.28277977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.980932776925209))-π/2
    2×atan(0.37496118054185)-π/2
    2×0.358736636338669-π/2
    0.717473272677338-1.57079632675     		φ = -0.85332305
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28277977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.202087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85332305 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.891809°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59637 KachelY 85999 -0.28277977 -0.85332305 -16.202087 -48.891809
    Oben rechts KachelX + 1 59638 KachelY 85999 -0.28273183 -0.85332305 -16.199341 -48.891809
    Unten links KachelX 59637 KachelY + 1 86000 -0.28277977 -0.85335457 -16.202087 -48.893615
    Unten rechts KachelX + 1 59638 KachelY + 1 86000 -0.28273183 -0.85335457 -16.199341 -48.893615
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85332305--0.85335457) × R
    3.15200000000626e-05 × 6371000     		dl = 200.813920000399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85332305--0.85335457) × R
    3.15200000000626e-05 × 6371000     		dr = 200.813920000399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28277977--0.28273183) × cos(-0.85332305) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657482964147604 × 6371000     		do = 200.812220862044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28277977--0.28273183) × cos(-0.85335457) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.657459214465196 × 6371000     		du = 200.804967097719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85332305)-sin(-0.85335457))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657482964147604-0.657459214465196)×R²
    abs(-0.28273183--0.28277977)×2.37496824084804e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.37496824084804e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.37496824084804e-05×40589641000000     		ar = 40325.1609302527m²