Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59637 / 85037
↖ ↑ ↗
← S 47.124345°
W 16.202087°		 ← 207.81 m → S 47.124345°
W 16.199341°		 →
↑
207.82 m
↓
↑
207.82 m
↓
S 47.126214°
W 16.202087°		 ← 207.81 m →
43 188 m²		 S 47.126214°
W 16.199341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85037 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454998016357422 y=0.648784637451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454998016357422 × 217)
    floor (0.454998016357422 × 131072)
    floor (59637.5)     		tx = 59637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648784637451172 × 217)
    floor (0.648784637451172 × 131072)
    floor (85037.5)     		ty = 85037
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59637 / 85037 ti = "17/59637/85037"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59637/85037.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59637 ÷ 217
    59637 ÷ 131072     		x = 0.454994201660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85037 ÷ 217
    85037 ÷ 131072     		y = 0.648780822753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454994201660156 × 2 - 1) × π
    -0.0900115966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28277977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648780822753906 × 2 - 1) × π
    -0.297561645507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.934817479490715
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28277977} λ = -0.28277977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.934817479490715))-π/2
    2×atan(0.392657527043282)-π/2
    2×0.374160677411937-π/2
    0.748321354823874-1.57079632675     		φ = -0.82247497
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28277977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.202087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82247497 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.124345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59637 KachelY 85037 -0.28277977 -0.82247497 -16.202087 -47.124345
    Oben rechts KachelX + 1 59638 KachelY 85037 -0.28273183 -0.82247497 -16.199341 -47.124345
    Unten links KachelX 59637 KachelY + 1 85038 -0.28277977 -0.82250759 -16.202087 -47.126214
    Unten rechts KachelX + 1 59638 KachelY + 1 85038 -0.28273183 -0.82250759 -16.199341 -47.126214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82247497--0.82250759) × R
    3.26199999999277e-05 × 6371000     		dl = 207.822019999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82247497--0.82250759) × R
    3.26199999999277e-05 × 6371000     		dr = 207.822019999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28277977--0.28273183) × cos(-0.82247497) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.680409555676901 × 6371000     		do = 207.814592045552m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28277977--0.28273183) × cos(-0.82250759) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.680385650332921 × 6371000     		du = 207.807290738177m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82247497)-sin(-0.82250759))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680409555676901-0.680385650332921)×R²
    abs(-0.28273183--0.28277977)×2.39053439792247e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39053439792247e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39053439792247e-05×40589641000000     		ar = 43187.6896218076m²