Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59637 / 82457
↖ ↑ ↗
← S 42.083955°
W 16.202087°		 ← 226.68 m → S 42.083955°
W 16.199341°		 →
↑
226.68 m
↓
↑
226.68 m
↓
S 42.085994°
W 16.202087°		 ← 226.67 m →
51 382 m²		 S 42.085994°
W 16.199341°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 82457 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454998016357422 y=0.629100799560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454998016357422 × 217)
    floor (0.454998016357422 × 131072)
    floor (59637.5)     		tx = 59637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.629100799560547 × 217)
    floor (0.629100799560547 × 131072)
    floor (82457.5)     		ty = 82457
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59637 / 82457 ti = "17/59637/82457"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59637/82457.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59637 ÷ 217
    59637 ÷ 131072     		x = 0.454994201660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 82457 ÷ 217
    82457 ÷ 131072     		y = 0.629096984863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454994201660156 × 2 - 1) × π
    -0.0900115966796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28277977
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629096984863281 × 2 - 1) × π
    -0.258193969726562 × 3.1415926535     		Φ = -0.81114027847097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28277977} λ = -0.28277977}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.81114027847097))-π/2
    2×atan(0.444351093247506)-π/2
    2×0.418146373817186-π/2
    0.836292747634372-1.57079632675     		φ = -0.73450358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28277977} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.202087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73450358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.083955°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59637 KachelY 82457 -0.28277977 -0.73450358 -16.202087 -42.083955
    Oben rechts KachelX + 1 59638 KachelY 82457 -0.28273183 -0.73450358 -16.199341 -42.083955
    Unten links KachelX 59637 KachelY + 1 82458 -0.28277977 -0.73453916 -16.202087 -42.085994
    Unten rechts KachelX + 1 59638 KachelY + 1 82458 -0.28273183 -0.73453916 -16.199341 -42.085994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73450358--0.73453916) × R
    3.5579999999924e-05 × 6371000     		dl = 226.680179999516m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73450358--0.73453916) × R
    3.5579999999924e-05 × 6371000     		dr = 226.680179999516m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28277977--0.28273183) × cos(-0.73450358) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.742163554858738 × 6371000     		do = 226.675852943612m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28277977--0.28273183) × cos(-0.73453916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.742139708003597 × 6371000     		du = 226.668569500234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73450358)-sin(-0.73453916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.742163554858738-0.742139708003597)×R²
    abs(-0.28273183--0.28277977)×2.38468551417848e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.38468551417848e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.38468551417848e-05×40589641000000     		ar = 51382.0976461638m²