Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 59637 / 58613
↖ ↑ ↗
← S 80.405641°
E147.595825°		 ← 101.81 m → S 80.405641°
E147.601319°		 →
↑
101.81 m
↓
↑
101.81 m
↓
S 80.406557°
E147.595825°		 ← 101.80 m →
10 365 m²		 S 80.406557°
E147.601319°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59637 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58613 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.909996032714844 y=0.894371032714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.909996032714844 × 216)
    floor (0.909996032714844 × 65536)
    floor (59637.5)     		tx = 59637
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.894371032714844 × 216)
    floor (0.894371032714844 × 65536)
    floor (58613.5)     		ty = 58613
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 59637 / 58613 ti = "16/59637/58613"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/59637/58613.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59637 ÷ 216
    59637 ÷ 65536     		x = 0.909988403320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58613 ÷ 216
    58613 ÷ 65536     		y = 0.894363403320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.909988403320312 × 2 - 1) × π
    0.819976806640625 × 3.1415926535     		Λ = 2.57603311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.894363403320312 × 2 - 1) × π
    -0.788726806640625 × 3.1415926535     		Φ = -2.4778583413607
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.57603311} λ = 2.57603311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4778583413607))-π/2
    2×atan(0.083922767184544)-π/2
    2×0.0837265720584332-π/2
    0.167453144116866-1.57079632675     		φ = -1.40334318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.57603311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 147.595825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40334318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.405641°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59637 KachelY 58613 2.57603311 -1.40334318 147.595825 -80.405641
    Oben rechts KachelX + 1 59638 KachelY 58613 2.57612899 -1.40334318 147.601319 -80.405641
    Unten links KachelX 59637 KachelY + 1 58614 2.57603311 -1.40335916 147.595825 -80.406557
    Unten rechts KachelX + 1 59638 KachelY + 1 58614 2.57612899 -1.40335916 147.601319 -80.406557
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40334318--1.40335916) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dl = 101.808579999462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40334318--1.40335916) × R
    1.59799999999155e-05 × 6371000     		dr = 101.808579999462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.57603311-2.57612899) × cos(-1.40334318) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.166671663361065 × 6371000     		do = 101.811632238102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.57603311-2.57612899) × cos(-1.40335916) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.166655906860793 × 6371000     		du = 101.802007356591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40334318)-sin(-1.40335916))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.166671663361065-0.166655906860793)×R²
    abs(2.57612899-2.57603311)×1.57565002720517e-05×R²
    9.58799999999371e-05×1.57565002720517e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×1.57565002720517e-05×40589641000000     		ar = 10364.8077581971m²