Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 59636 / 86004
↖ ↑ ↗
← S 48.900838°
W 16.204834°		 ← 200.78 m → S 48.900838°
W 16.202087°		 →
↑
200.75 m
↓
↑
200.75 m
↓
S 48.902643°
W 16.204834°		 ← 200.77 m →
40 305 m²		 S 48.902643°
W 16.202087°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 59636 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.454990386962891 y=0.656162261962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.454990386962891 × 217)
    floor (0.454990386962891 × 131072)
    floor (59636.5)     		tx = 59636
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.656162261962891 × 217)
    floor (0.656162261962891 × 131072)
    floor (86004.5)     		ty = 86004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 59636 / 86004 ti = "17/59636/86004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/59636/86004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 59636 ÷ 217
    59636 ÷ 131072     		x = 0.454986572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86004 ÷ 217
    86004 ÷ 131072     		y = 0.656158447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.454986572265625 × 2 - 1) × π
    -0.09002685546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.28282771
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.656158447265625 × 2 - 1) × π
    -0.31231689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.981172461423309
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.28282771} λ = -0.28282771}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.981172461423309))-π/2
    2×atan(0.374871318929132)-π/2
    2×0.358657849216723-π/2
    0.717315698433446-1.57079632675     		φ = -0.85348063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.28282771} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.204834°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.85348063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -48.900838°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 59636 KachelY 86004 -0.28282771 -0.85348063 -16.204834 -48.900838
    Oben rechts KachelX + 1 59637 KachelY 86004 -0.28277977 -0.85348063 -16.202087 -48.900838
    Unten links KachelX 59636 KachelY + 1 86005 -0.28282771 -0.85351214 -16.204834 -48.902643
    Unten rechts KachelX + 1 59637 KachelY + 1 86005 -0.28277977 -0.85351214 -16.202087 -48.902643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.85348063--0.85351214) × R
    3.15100000000124e-05 × 6371000     		dl = 200.750210000079m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.85348063--0.85351214) × R
    3.15100000000124e-05 × 6371000     		dr = 200.750210000079m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.28282771--0.28277977) × cos(-0.85348063) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.657364224275333 × 6371000     		do = 200.77595464892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.28282771--0.28277977) × cos(-0.85351214) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.657340478863549 × 6371000     		du = 200.768702188955m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.85348063)-sin(-0.85351214))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.657364224275333-0.657340478863549)×R²
    abs(-0.28277977--0.28282771)×2.37454117836267e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.37454117836267e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.37454117836267e-05×40589641000000     		ar = 40305.0870956166m²